Архив разработки (89 Кб, Maple)

Содержание

• Введение
• Метод Ньютона
• Искривление потенциала структуры
• Расчёт массивов k,m,Y
• Граничные условия на входе
• Расчёт амплитуд для каждого слоя
• Невязка волновой функции электрона от его энергии при заданных граничных условиях
• График квадрата  модуля волновой функции электрона
• Первая статья
  • Исходные данные
  • Вывод результатов
• Вторая статья
  • Исходные данные
  • Вывод результатов

Введение

Потенциальный рельеф для электронов в квантово-каскадных гетероструктурах, составленных из    материалов с различным расположением и шириной энергетических зон, имеет в поперечном к плоскости   слоев направлении форму потенциальных ям и барьеров, а значения энергии и импульса электрона в потенциальных ямах будут квантоваться. Это приводит к тому, что при поперечном движении электронов через такую систему ям и барьеров, вследствие интерференции электронных волн, отражающихся от границ раздела соседних слоев, наблюдаются эффекты резонансного протекания тока . Для электронов, поперечная энергия которых совпадает с энергией какого-либо из резонансных уровней, проницаемость барьеров очень сильно возрастает, так что частица, проходя сквозь эти барьеры, практически их не ощущает. При этом носитель заряда проходит структуру, в целом, не подвергаясь за метному отражению.Следствием этих процессов является значительное увеличение амплитуды волновой функции в яме по сравнению с амплитудой волновой функции снаружи ямы. Таким образом, физика квантовокаскадных структур тесно связана с эффектами резонансного туннелирования и интерференцией электронных волн, отражающихся от барьеров.Значения энергии и вид волновых функций для потенциальной ямы произвольной формы определяются из решения стационарного уравнения Шредингера, имеющего  следующий вид

где  – уровни размерного квантования,  – полный потенциал структуры, – электростатический потенциал, E – напряженность электрического поля. Отметим, что резонансные энергетические уровни являются строго дискретными только в предельном случае бесконечно широких барьеров, когда отсутствуетутечка электронов из ямы, и не происходит их рассеяния. В структурах, где толщина барьеров конечна, волновая функция электрона не может быть в принципе локализована полностью в яме, и существует конечная вероятность просачивания частицы наружу. Это приводит, в свою очередь, к тому, что уровни энергии частицы в потенциальной яме приобретают конечную ширину, а соответствующие состояния превращаются из чисто стационарных в квазистационарные.Для решения уравнения Шредингера используем оптическую модель резонансного туннелирования, в которой электронные волны рассматриваются по аналогии со световыми волнами . Тогда для описания процесса прохождения электронной волны через материал, профиль потенциальной энергии которого изменяется с координатой, разобьем интересующий нас интервал координат на малые участки, как показано на Рис.1,

 в пределах которых считаем  постоянным. Поэтому волновую функцию электрона можно представить в виде суперпозиции плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях:
,при < <
где  - волновой вектор электрона.
Чтобы связать амплитуды волновых функций электрона в точках на границе соседних слоев i и i+1, необходимо приравнять волновые функции электрона и их производные по координате с учетом различных эффективных масс в слоях. В результате находим следующее матричное преобразование, связывающее амплитуды волновой функции электрона в точках i и i+1

Здесь матрица перехода  от i к i+1 слою имеет вид

,

где
Зная граничные условия для волновой функции и эффективные массы слоёв ,мы можем найти собственную энергию электрона  для данной структуры.В силу комплексности уравнения уровни энергии оказываются комплексными величинами и в общем случае представляются как   Интересным оказывается физический смысл мнимой части собственной энергии электрона. Учитывая временную зависимость волновой функции, концентрацию электронов n на данном энергетическом уровне можно представить в виде

 ~ = = .

Как видно из выражения , величина  определяет время жизни на данном энергетическом уровне . Такое представление волновых функций и уровней энергии электрона позволяет сразу находить как энергетическое положение уровней так и их населенность, что является очень удобным для поиска оптимальных условий инверсной населенности в квантово-каскадных структурах.

Метод Ньютона

>	newton:=proc(eq,per,nac,mx) local eq2,X,i,df; eq2:=subs(per=x,eq): df:=diff(lhs(eq2),x): X:=nac: for i from 1 to mx do X:=X-subs(x=X,lhs(eq2))/subs(x=X,df): X:=evalf(X): end do; X; end proc:

Искривление потенциала структуры

>

kriv:=proc(U,z,kvo,V) global Out,profil_out,P1,P2:local line,i,j,l,a,b,profil,Y: Y:=[sum(z[l],l=1..j)$j=1..kvo+1]: a[1]:=x<=Y[1] and x>=0:a[2]:=U[1]: b[1]:=x<=Y[1] and x>=0:b[2]:=U[1]: Out := [seq(U[j]-V*(Y[j]-z[j]/2)/Y[kvo],j=1 .. kvo+1)]: j:=2:l:=1: for i from 2 to 2*(kvo+1) do  if type(i,odd)    then a[i]:=x>=Y[j-1] and x<=Y[j]:         b[i]:=x>=Y[j-1] and x<=Y[j]:j:=j+1:    else a[i]:=U[l]:b[i]:=Out[l]:l:=l+1:  end if: end do: profil:=x->convert(If(a[i]$i=1..2*(kvo+1)),piecewise):i:='i': profil_out:=x->convert(If(b[i]$i=1..2*(kvo+1)),piecewise): line:=x -> U[1]-V*x*Y[(kvo)]^(-1): P1:=plot(profil(x),x=0..Y[(kvo+1)],color=black,thickness=2,labels=["z","Ec(z)"]): P2:=plot([profil_out(x),line(x)],x=0..Y[(kvo+1)],color=[black,grey],thickness=[2,0],labels=["z","Ec(z)"]): end proc:

Расчёт массивов k,m,Y

>	kmy:=proc(X,z,Out,kvo) global k,m,Y: el:=GetValue(Constant(e)): h := GetValue(Constant(h))/(2*Pi): me:=GetValue(Constant(m[e])): Y:=[sum(z[l],l=1..j)$j=1..kvo+1]: m:= [seq(0.067+0.083*X[i],i=1..kvo+1)]: k:=[seq(sqrt(2*m[j]*me*(E*el-Out[j]*el))/h,j=1..kvo+1)]: end proc:

Warning, `el` is implicitly declared local to procedure `kmy`
Warning, `h` is implicitly declared local to procedure `kmy`
Warning, `me` is implicitly declared local to procedure `kmy`
 

Граничные условия на входе

>

Ao:=1:

>

Bo:=-1:

Расчёт амплитуд для каждого слоя

>

rashet:=proc(A,B,kv) local p,j,R,Aвх,Aвых,M,Buf:global F: p:=i->k[i]*m[i+1]/(k[i+1]*m[i]): Матрица перехода от i слоя к i+1 слою M:=i->Matrix([[((1+p(i))/2)*exp(I*k[i]*(z[i])), ((1-p(i))/2)*exp(-I*k[i]*(z[i]))] , [((1-p(i))/2)*exp(I*k[i]*(z[i])), ((1+p(i))/2)*exp(-I*k[i]*(z[i]))]]): Цикл расчёта амплитуд на входе и выходе каждого слоя (массив F) Aвх:=Vector([A,B]): F[1]:=Aвх: for j from 2 by 1 to kv do      Aвых:=Multiply(M(j-1),Aвх):   Aвх:=Aвых:   F[j]:=Aвх: end do: F[kv]:=Aвх: F; end proc:

Невязка волновой функции электрона от его энергии при заданных граничных условиях

>

nev:=proc(kv,Out) local Psi_out,j,m,pRe,pIm:global eq2: m:=max(Out[j]$j=1..kv+1): Расчёт амплитуд rashet(Ao,Bo,kv): Уравнение для волновой функции на выходе eq2:=F[kv][1]*exp(I*k[kv]*(z[kv]))+F[kv][2]*exp(-I*k[kv]*(z[kv]))=0: Графики действительной и мнимой частей волновой функции от энергии (невязка) pRe:=plot(Re(lhs(eq2)),E=0..m,color=blue,legend="действительная часть"): pIm:=plot(Im(lhs(eq2)),E=0..m,color=red,legend="мнимая часть"): plots[display](pIm,pRe,title="График невязки",view=[0..m,-5..5]); end proc:

График квадрата  модуля волновой функции электрона

>

graf:=proc(W,cls,zoom,kvo) local i,p,j:global pr,E,grafic: E:=Re(W): Расчёт массива графиков волновой функции в каждом слое for i from 1 by 1 to kvo do p[i]:=plot((Re(F[i][1]*exp(I*k[i]*(x-(Y[i]-z[i])))+F[i][2]*exp(-I*k[i]*(x-(Y[i]-z[i]))))^2)/zoom+W,x=Y[i]-z[i]..Y[i],color=cls,thickness=0,labels=["z","Ec(z)"]): end do: Построение графика волновой функции и профиля структуры pr:=plot(profil_out(x),x=0..Y[kvo+1],color=black,thickness=2): grafic:=plots[display]({seq(p[j],j=1..kvo),pr},title="Квадрат модуля\n волновой функции"): E:='E' end proc:

Первая статья

Исходные данные

Всего слоёв

>

kvo:=7:

Потенциал структуры (электронвольты)

>	U := [0.375,0,0.375,0,0.19,0,0.375,0]:

>	U := [0.375,0,0.375,0,0.19,0,0.375,0]:

Толщины слоёв

>	z:=[8.8e-9,5.1e-9,1.1e-9,8.8e-9,2e-9,5.4e-9,8.8e-9,0.1e-9]:

Cостав вещества на каждом интервале

>	X:=[0.45,0,0.22,0,0.22,0,0.45,0,0.3,0,0.3,0,0.3]:

Вывод результатов

>	kriv(U,z,kvo,0):

>	kmy(X,z,Out,kvo):

>	nev(kvo,Out);

Собственные энергии электрона

>	E1:=newton(eq2,E,0.033,5);

>	E2:=newton(eq2,E,0.069,5);

>	E3:=newton(eq2,E,0.085,5);

>	E4:=newton(eq2,E,0.155,5);

>	graf(E1,blue,6e10,kvo): g1:=grafic: graf(E2,red,3e9,kvo):  g2:=grafic: graf(E3,sienna,4e8,kvo):g3:=grafic: graf(E4,black,3e8,kvo):g4:=grafic: plots[display](g1,g2,g3,g4);

Вторая статья

Исходные данные

Всего слоёв

>

kvo:=5:

Потенциал структуры (электронвольты)

>	U := [0.5,0.04,0.5,0.04,0.5,0.04]:

Толщины слоёв

>	z:=[5e-9,8e-9,4e-9,2e-9,3e-9,10e-9]:

Cостав вещества на каждом интервале

>	X:=[0.3,0,0.3,0,0.3,0]:

Вывод результатов

>	kriv(U,z,kvo,0.3);

>

m:='m':

>	kmy(X,z,Out,kvo):

>	nev(kvo,Out);

Собственные энергии электрона

>	E1:=newton(eq2,E,0.043,5);

>	E2:=newton(eq2,E,0.12,5);

>	graf(E1,blue,5e8,kvo): g1:=grafic: graf(E2,red,3e5,kvo):  g2:=grafic: plots[display](g1,g2);

Наверх