Задача 4. Вычислить площадь поверхности фигуры, полученной вращением (вокруг оси ОХ) кривой, находящейся в плоскости OXY и ограниченной осью Х, кривой и касательной к этой кривой в точке пересечения её с осью OY.

> restart:with(plots):with(plottools):y:=x->(x+2)^3:

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the name arrow has been redefined

> print(`Найдём уравнение касательной к графику функции y(x) в точке пересечения его с осью OY:`);
x[0]:=0:y[кас](x):=y(x[0])+(x-x[0])*D(y)(x[0]);
H:=solve(y[кас](x)=0,x):
print(`Касательная пересекается с осью ОХ в точке x`=H);
print(`Построим указанные кривые и определим фигуру, ограниченную ими:`);
F:=plot(y(x),x=-2..1,thickness=2):
T:=plot(y[кас](x),x=-2..1,color=BLUE):
plots[display]([F,T],scaling=unconstrained,title="рис. 6");

> print(`Построим тело вращения:`);
F1:=plot3d((h+2)^3,a=-Pi..Pi,h=-2..0,coords=cylindrical,axes=normal):
T1:=plot3d(8+12*h,a=-Pi..Pi,h=H..0,coords=cylindrical,orientation=[45,70]):
plots[display]([F1,T1],scaling=unconstrained,style=hidden,title="рис. 7");

> print(`Площадь кубического параболоида:`);
S[1]=2*Pi*Int('y(x)'*sqrt(1+diff('y(x)',x)^2),x=-2..0);
S[1]=2*Pi*Int(y(x)*sqrt(factor(1+diff(y(x),x)^2)),x=-2..0);
S[1]:=2*Pi*int('y(x)'*sqrt(1+diff('y(x)',x)^2),x=-2..0);

> print(`Плащадь боковой поверхности конуса (полученного вращением касательной):`);
'S[2]'=Pi*'R'*'l';
R:=y(0);l:='sqrt(R^2+H^2)'=sqrt(R^2+H^2);
S[2]:=Pi*R*op(2,l);

> print(`Площадь всей поверхности:`);
'S[x]'='S[1]'+'S[2]';
'S[x]'=S[1]+S[2];
S[x]:=factor(S[1]+S[2]);