Вернуться на страницу <Model Vision Studium>
В начало

Приложение

Студент должен в качестве решения задачи представить следующие результаты:

• описание системы, представленной в задаче, в терминах унифицированного языка моделирования UML;
• модель данной системы, реализованную в подсистеме Simulink пакета Matlab на основе полученного описания;
• модель данной системы, реализованную в пакете Model Vision Studium на основе полученного описания;
• результаты, полученные в процессе исследования данных моделей и их объяснение в терминах данной прикладной области.

При построении модели любой из задач в пакете Model Vision Studium необходимо реализовать трехмерную анимацию (задача №1-10) или создать панель управления параметрами, содержащую в себе компоненты двухмерной анимации (задача №11, №12).

Задача 1 | Задача 2 | Задача 3 | Задача 4 | Задача 5 | Задача 6
Задача 7 | Задача 8 | Задача 9 | Задача 10 | Задача 11 | Задача 12

Переменная сила Q, изменяющаяся по гармоническому закону (1) или (2), передается на фундамент машиной с неуравновешенным ротором (рис.1):

где

H₁ и H₂ - амплитуда возмущающей силы,

w₁ и w₂ - частота возмущающей силы.

Пусть H₁ = 2см, H₂ = 3см, w₁ = 0.3с^-1, w₂ = 0.5с^-1.

Гармонические законы сменяют друг друга с периодом в 50 секунд.

Пусть k = 0.4с^-1 - это собственная частота рассматриваемой системы. Если она не совпадает с частотой возмущающей силы, в данный момент времени предаваемой на фундамент (то есть k № w₁ или k № w₂), то значение координаты q, по оси которой будут происходить колебания, определяются следующими уравнениями:

для гармонического закона (1):

 (3)

для гармонического закона (2):

(4)

где

а = 1 с^-2 - инерционный коэффициент.

Начальные условия:

(5)

Если собственная частота системы совпадает с частотой возмущающей силы, в данный момент времени предаваемой на фундамент (то есть k = w₁ или k = w₂), то во избежание резонанса воздействие на фундамент прекращается, значение частоты, передаваемой на фундамент на момент возникновения резонанса уменьшается на 10% и через 1 секунду колебания возобновляются по тому же закону, что действовал до пререрыва уже с новой частотой.

Построить модель данной системы и модель для двух таких машин работающих одновременно и независимо друг от друга. Вторая машина обладает аналогичным поведением, за исключением того, что переменная сила Q’ для нее задается теми же законами, но с иными параметрами:

Q₁‘ = H₃*Sin(w₃*t) (1’)

Q₂‘ = H₄*Cos(w₄*t) (2’)

где

H₃ и H₄ - амплитуда возмущающей силы,

w₃ и w₄ - частота возмущающей силы.

Дана система из двух маятников - маятника 1 и обращенного маятника 2 (рис.2):

Точка подвеса первого маятника гармонически колеблется по вертикали около среднего положения по закону (1), а точка подвеса второго маятника гармонически колеблется по вертикали около среднего положения по закону (2):

y₁ = A*Cos(w₁*t) (1)

y₂ = A*Cos(w₂*t) (2)

где

А - амплитуда колебаний,

w₁ и w₂ - частоты колебаний.

Пусть A = 2м, w₁ = 3с^-1, w₂ = 3с^-1.

При этом каждые 10 секунд значение A изменяется на величину ±0.5 поочередно.

Длина каждого из маятников равна l = 40м.

Пусть j₁ - это угол отклонения первого маятника от строго вертикального положения, а j₂ - это угол отклонения второго маятника от строго вертикального положения.

У первого маятника j₁ изменяется в соответствии с уравнением:

 (3)

У второго маятника поведение иное: если , где g - это ускорение свободного падения, то маятник находится в устойчивом состоянии и j₂ = 0.

В противном случае, j₂ изменяется в соответствии с уравнением:

 (4)

У обоих маятников в начальный момент времени отклонение от положения равновесия составляет 0,1 градуса. Значения j₁ и j₂ изменяются в пределах от 0 до 360 градусов.

Построить модель данной системы.

Дан неровный участок со сложным профилем. По нему движутся две идентичные системы, каждая из которых представляет собой подрессорный груз массой m = 0,7кг, прикрепленный к безотрывно движущемуся с постоянной горизонтальной скоростью V₁ = 0,9м/с (для первой системы) и V₂ = 1м/с (для второй системы) колесу (рис.3):

Профиль участка имеет следующий вид: известно, что при скорости V₁ система движется в течении отрезка времени Time₁ = 20с по участку, описываемому уравнением (1), а делее с периодичностью Time₂ = 30с для скорости V₁ (Time₂’ = 27с для скорости V₂) профиль участка описывается уравнениями (2) и (3) поочередно:

 (1)

y = A₁*Cos x (2)

y = A₂*Sin x (3)

где

h - предел, к которому стремится высота неровности,

g - параметр, характеризующий кривизну профиля,

А₁ и А₂ - амплитуды колебаний.

Пусть h = 1м, g = 1, А₁ = 0,8м, А₂ = 0,7м.

Первая система в начальный момент времени расположена в начале пути, а вторая расположена в начале косинусоидального участка. В начальный момент времени начинает двигаться первая система со скоростью V = V₁, а вторая остается на месте. Как только первая система достигает конца экспоненциального участка, начинает свое движение вторая система со скоростью V = V₂ (где V₂ > V₁), и далее обе системы движутся вместе.

Так как x = V*t (где V = V₁), дифференциальные уравнения, описывающие вертикальные колебания x (в начальный момент времени отвутствующие) первого груза записываются следующим образом:

для уравнения (1):

 (4)

для уравнения (2):

 (5)

для уравнения (3):

 (6)

где

с - жесткость упругой подвески.

Пусть с = 0,5кг/с².

Движения второго груза описывается уравнениями (5) и (6) при условии, что V = V₂.

Если предел h меньше h_min = 0,001м или амплитуды А₁ и А₂ меньше А_min = 0,01м, то профиль участка считается прямолинейным и колебания грузов описываются уравнением:

 (7)

Построить модель данной системы.

Жесткая плоская пластинка длиной l = 5м находится в потоке газа (жидкости), скорость V = 1м/с которого направлена вдоль срединной плоскости пластинки в невозмущенном состоянии равновесия (рис.4):

В этом положении аэродинамические силы равны нулю и пластинка находится в равновесии под действием силы тяжести и реакции опор. При отклонении пластинки возникают аэродинамические давления, зависящие от угла отклонения пластинки j. В начальный момент пластинка отклоняется от положения равновесия на угол 0.01 градуса.

Пусть I = 1кг*м² - момент инерции пластинки относительно оси шарнира; тогда дифференциальным уравнением движения будет:

 (1)

где

c₀ - коэффициент жесткости пружины,

K_y - постоянный аэродинамический коэффициент,

r - плотность газа,

b - расстояние от оси шарнира, определяющее точку приложения равнодействующих аэродинамических давлений на пластину.

Пусть c₀ = 0,5кг/с², K_y = 0,5м*с², r = 2кг/м³, b = 1м.

Уравнение (1) выполняется при условии . В противном случае, под действием аэродинамических сил пластинка снова возвращается в положение равновесия.

Каждые 5 секунд скорость подаваемого газа то увеличивается на 50%, то возвращается к прежнему значению. Также каждые 10 секунд плотность газа то увеличивается на 50%, то возвращается к прежнему значению.

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем типа "пластинка в потоке газа", несвязанных друг с другом. Вторая система "пластинка в потоке газа" идентична первой, за исключением того, что в ней пластинка имеет другую длину l₁ > l, а поток газа имеет другую скорость V₁>V и иную плотность r₁ < r.

Дана система из двух тел с массами m₁ и m₂, соединенных двумя пружинами, жесткости которых равны c₁ и с₂ (рис.5):

Пусть m₁ = 1кг, m₂ = 1кг, c₁ = 1кг/с², с₂ = 1кг/с².

На левый груз системы действует гармоническая возмущающая сила Q, задаваемая с интервалом в 20 секунд то законом (1), то законом (2):

Q = H₁*Sin(w*t) (1)

Q = H₂*Cos(w*t) (2)

где

H₁ и H₂ - амплитуды колебаний,

w - частота колебаний.

Пусть H₁ = 1м, H₂ = 1,5м, w = 2с^-1.

Частота колебаний вне зависимости от закона колебаний каждые 25 секунд то уменьшается на 50%, то возвращается к прежнему значению.

Пусть x₁ и x₂ - горизонтальное отклонение грузов от положения равновесия (в начальный момент времени отсутствующее). Тогда уравнениями движения будут:

 (3)

 (4)

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем типа "два груза", несвязанных друг с другом. Вторая система "два груза" идентична первой, за исключением того, что в ней левый груз имеет другую массу m₂< m’₁ < m₁, а правая пружина имеет другую жестксть с’₂> с₂.

Дан вертикальный безмассовый упругий стержень длиной l = 5м с постоянной жесткостью сечения EJ = 1кг*м³/с². С концом стержня связан сосредоточенный груз массой m = 1кг. Верхней опорой стержня служит неподвижный шарнир, а нижней опорой служит подвижная втулка с шарикоподшибником (рис.6):

Расстояние между опорами s < l не постоянно и изменяется засчет движения втулки попеременно с периодом 30 секунд по одному из двух гармонических законов:

s = H₁*Cos(w₁*t) (1)

s = H₂*Sin(w₁*t) (2)

где

H₁ и H₂ - амплитуды колебаний,

w₁ - частота колебаний.

Пусть H₁ = 1,5м, H₂ = 2м, w = 1с^-1.

Частота колебаний вне зависимости от закона колебаний каждые 20 секунд то уменьшается на 40%, то возвращается к прежнему значению.

Состоянию равновесия соответствует положение груза на вертикали и прямолинейная форма оси стержня. При возмущении этого состояния груз отклоняется в сторону, ось балки изгибается, и последующее движение описывается дифференциальным уравнением:

 (3)

В начальный момент времени происходит отклонение груза на расстояние x₀ = 0,1м. Если x превышает пороговое значение x_max = 3м, то стержень разрушается.

Построить модель данной системы и модель для двух таких систем, работающих одновременно и независимо друг от друга. Вторая система обладает аналогичным поведением, за исключением того, что переменная сила s’ для нее задается теми же законами, но с иными параметрами:

s’ = H₃*Cos(w₂*t) (1)

s’ = H₄*Sin(w₂*t) (2)

где

H₃ и H₄ - амплитуды колебаний,

w₂ - частота колебаний.

Дана система из груза массой M = 1кг, связанного с безмассовой жесткой упруго закрепленной балкой.

Пусть 2l - длина балки, с₀ - коэффициент жесткости пружины. Один конец балки закреплен на шарнире, расположенном на неподвижной опоре (рис.7):

Пусть l = 1м, с₀ = 1кг/с².

В начальный момент времени происходит однократный вертикальный удар по грузу с величиной мгновенного ударного импульса S = 2Н*с. Скорость груза получает мгновенное приращение, из чего следуют начальные условия:

(1)

 (2)

где

j - это угол отклонения системы от положения равновесия.

Движение системы описывается следующим уравнением:

 (3)

Через 25 секунд после начала колебаний масса груза M мгновенно уменьшается на 50%. Далее движение системы продолжается, но уже с грузом новой массы.

Если угол j становиться больше предельного значения , то происходит разрушение системы.

Построить модель системы "балка - груз", а также модель системы, состоящей из двух систем "балка - груз", несвязанных друг с другом. Вторая балка с грузом идентична первой, за исключением того, что удар по грузу в ней происходит через 10 секунд после того, как произошел удар по грузу в первой системе "балка - груз".

В воде плавает кусок пробки в виде параллелепипеда с площадью основания S = 1 м² и высотой H = 0,5 м. Пробку погружают в воду на небольшую глубину x₀ = 5 см и отпускают (рис.8):

В результате пробка начинает совершать колебания. Сопротивление воды не учитывается. Изменение глубины погружения пробки в воду х описывается следующим уравнением:

 (1)

с начальными условиями:

 (2)

 (3)

где

r_в = 1000 кг/м³ - плотность воды,

r_п = 200 кг/м³ - плотность пробки,

g - ускорение свободного падения.

Пусть существует вторая точно такая же система "вода - пробка" в которой пробку в начальный момент времени не погрузили в воду и отпустили, а сообщили ей скорость, равную v₀ = 1м/с. Пусть в данной системе существует сила сопротивления воды, пропорциональная скорости пробки: F_c = -r*v, где r = 1кг/с - коэффициент пропорциональности. Колебания в этой системе описываются уравнением:

 (4)

с начальными условиями:

 (5)

 (6)

где

m - масса пробки.

Построить модель системы, состоящей из этих двух систем "вода - пробка", несвязанных друг с другом. Построить также модель системы, в которой каждые 20 секунд в первой системе вода мгновенно "превращается" в ртуть ( а ртуть с той же периодичностью - в воду), а во второй системе каждые 25 секунд происходят аналогичные "превращения" воды в спирт. Плотность ртути - r_р = 1360 кг/м³, плотность спирта - r_с = 790 кг/м³.

Материальная точка массы m = 1 кг находится в поле тяготения тонкого кольца массы M = 10²⁰ кг и радиуса R = 1 км. В начальный момент времени точка помещается в точку Q₁, расположенную на оси кольца на расстоянии x₀ < R от плоскости кольца и начинает совершать колебательные движения (рис.9):

Если x₀ < 0.1*R, то колебания x описываются следующим уравнением:

 (1)

Если x₀ і 0.1*R или в результате колебаний выполняется условие x і 0.1*R, то колебания описываются следующим уравнением:

 (2)

где

G - гравитационная постоянная.

Пусть x₀ = 1м.

Каждые 15 секунд радиус кольца поочередно мгновенно расширяется и сжимается в 10 раз. Если точка отклоняется от кольца на расстояние, превышающее в 10 раз его первоначальный радиус, система разрушается.

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем "материальная точка - кольцо", несвязанных друг с другом. Вторая система "материальная точка - кольцо" идентична первой, за исключением того, что в ней радиус кольца изменяется в 5 раз каждые 20 секунд.

В длинной вертикальной цилиндрической трубке, закрытой с нижнего конца, может ходить без трения поршень, масса М =10кг которого велика по сравнению с массой идеального газа, заключенного внутри трубки. В положении равновесия расстояние между поршнем и дном трубки равно l₀ = 1000м (рис.10):

Площадь поперечного сечения трубки равна S = 1м², на поршень действует нормальное атмосферное давление p₀. В начальноый момент времени поршень отклоняют от положения равновесия на расстояние x << l₀. В результате этого поршень начинает совершать колебания, описываемые следующими уравнениями:

если p₀ № 0:

 (1)

если p₀ = 0:

 (2)

где

g - ускорение свободного падения.

Пусть x = 1м.

Атмосферное давление каждые 10 секунд мгновенно изменяет свое значение с нормального значения на меньшее на 80% (и обратно).

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем типа "трубка с поршнем", несвязанных друг с другом. Вторая "трубка с поршнем" идентична первой, за исключением того, что в ней поршень имеет другую массу М’ > M и другую площадь поперечного сечения трубки S’>S.

Дана однокамерная фармакокинетическая модель с всасыванием (рис.11):

где

1 - это место введения лекарственного препарата,

2 - камера.

Камера представляет собой ограниченный в пространстве объем жидкости (ткани), неизменный с течением времени. Дан определенный объем лекарственного препарата, который всасывается в камеру пропорционально своей массе в соответствии с уравнением:

(1)

где

m - масса лекарственного препарата в месте введения 1,

k₁ - константа скорости поступления препарата в камеру (константа скорости всасывания).

Пусть k₁ =0,3 с^-1 .

Предполагается, что масса лекарственного препарата в 1 в начальный момент времени равна М = 30мг, причем в самой камере в начальный момент времени препарата нет. Тогда масса лекарственного препарата в камере изменяется в соответствии с следующим уравнением:

 (2)

где

m₁ - масса лекарственного препарата в камере,

k_el - константа элиминации (выведения) лекарственного препарата из камеры.

Пусть k_el =0,5 с^-1 .

Как только масса лекарственного препарата в месте введения становится меньше порогового значения e = 0,001мг, засекается отрезок времени Time = 10с, по истечении которого в месте введения уничтожаются все остатки прежней дозы препарата и вводится новая доза m = M.

Существует более сложная система, называемая двухкамерной фармакокинетичкской моделью с всасыванием (рис. 12):

В ней лекарственный препарат вводится из аналогичного ранее описанному места введения 1’ и выводится из камеры 2’, но существует еще камера 3, подсоединенная к камере 2’.Между камерами 2’ и 3 может циркулировать лекарственный препарат.

В этой модели масса лекарственного препарата в месте введения описывается также уравнением (1) с теми же начальными условиями. Массы же в камерах 2’ и 3 описываюстя уравнениями (3) и (4) соответственно:

 (3)

 (4)

где

m₂ - масса лекарственного препарата в камере 3,

k₁₂ - константа скорости поступления препарата из камеры 2’ в камеру 3.

k₂₁ - константа выведения лекарственного препарата из камеры 3 в камеру 2’.

Пусть k₁₂ =0,4 с^-1, k₂₁ =0,6 с^-1.

Как и в первой системе, в начальный момент времени в камерах 2’ и 3 лекарственный препарат отсутствует. Как и в первой системе, как только масса лекарственного препарата в месте введения становится меньше порогового значения e’, засекается отрезок времени Time₁, по истечении которого в месте введения уничтожаются все остатки прежней дозы препарата и вводится новая доза m = M.

Построить модель системы, содержащей обе фармакокинетические модели, несвязанные друг с другом с различными местами введения лекарственного препарата. Также построить модель системы, состоящей из обеих фармакокинетических моделей, имеющих общее место введения препарата. Скорость всасывания лекарственного препарата k₁ в обеих фармакокинетических моделях одинаковая, отрезок времени Time’ и пороговое значение e’ для места введения препарата совпадают со значениями, принятыми для однокамерной фармакокинетической модели с всасыванием.

Даны две биологические популяции, оспаривающие одну и ту же пищу. Пусть это будут популяции медведей (численностью N₁) и волков (численностью N₂) (рис.13):

Пусть при количестве пищи, достаточном для полного удовлетворения рассматриваемых видов, существуют постоянные положительные коэффициенты прироста популяций: e₁ = 0,7мес^-1 для медведей и e₂ = 0,9мес^-1 для волков. Для каждого вида заданы "коэффициенты прожорливости" - g₁ = 0,7кг^-1 и g₂ = 0,5 кг^-1, соответствующие потребности в пище для каждой из двух популяций.

Пусть F(N₁, N₂) - количество пищи, поедаемой обеими популяциями в единицу времени. Оно задается уравнениями (1) и (2), где уравнение (1) соответствует случаю, когда обе популяции активны, а уравнение (2) - когда медведи впадают в спячку. Переключение между режимами (1) и (2) происходит периодически, причем с режима (1) на режим (2) переключение происходит через отрезок времени Time₁ = 9мес, а с режима (2) на режим (1) - через Time₂ = 3мес:

 (1)

 (2)

где

l₁ и l₂ - некие положительные коэффициенты.

Пусть l₁ = 0,01кг/(мес*шт), l₂ = 0,02кг/(мес*шт).

В начальный момент времени популяции обладают начальной численностью N₁’ = 10шт и N₂’= 20шт_.

Тогда развитие популяций описывается следующими уравнениями:

медведи:

 (3)

волки:

 (4)

Как только численность той или другой популяции становится меньше 1 (умирает последняя особь), засекается отрезок времени Time₃ = 3мес (если это медведи) или Time₃’ = 5мес (если это волки), по истечении которого вместо прежней популяции поселяется новая популяция с новой начальной численностью (N₁’ если это медведи и N₂’ если волки).

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем типа "две популяции", несвязанных друг с другом. Вторая система "две популяции" идентична первой, за исключением того, что в ней вместо медведей и волков в качестве конкурирующих видов рассматриваются лоси и олени, имеющие иные значения коэффициентов прироста e₁’и e₂’, другие значения "коэффициентов прожорливости" g₁’ и g₂’,а также иные значения коэффициентов l₁ и l₂.

В начало
Вернуться на страницу <Model Vision Studium>