Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы
Технологии разработки и отладки
сложных технических систем


 
Линейная алгебра. ИЭТ МЭИ (I семестр)

Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало

 ZIP-архив Архив конспекта лекции 3  (72 Кб, MS Word 97)

Краткий конспект лекции 3

Глава 2. Пространство арифметических векторов Rn

2.1. Пространство арифметических векторов Rn

2.1.1. Пространство арифметических векторов Rn. Линейные операции с векторами
2.1.2. Линейная зависимость и линейная независимость в Rn
2.1.3. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов
2.1.4. Необходимое условие линейной независимости системы векторов (в координатах)

2.2. Размерность пространства Rn. Базис в Rn

2.2.1. Свойства базиса, естественный базис, координаты вектора в заданном базисе
2.2.2. Линейные подпространства в Rn, размерность подпространства, базис в подпространстве
2.2.3. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису

 

2.1.1. Пространство арифметических векторов R n. Линейные операции с векторами

Определение. Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается , числа называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число: ,

для любых и и любого числа

Определение. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством рифметических векторов Rn.

Вектор называется нулевым вектором, а вектор — противоположным вектором для вектора .

Для любых , , из Rn и любых чисел a, b справедливо:

  1. , сложение коммутативно;
  2. ,сложение ассоциативно;
  3. , умножение на число ассоциативно;
  4. ;
  5. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
  6. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Примерами пространства арифметических векторов являются пространства геометрических векторов на плоскости, записанных в координатной форме.

2.1.2. Линейная зависимость и линейная независимость в Rn

Говорят, что вектор пространства Rn линейно выражается через векторы , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов , т.е. представить в виде .

Определение. Если хотя бы один вектор системы векторов из Rn линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой.

Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.

2.1.3. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Система векторов из Rn линейно зависима тогда и только тогда, когда  хотя бы один вектор системы векторов  из Rn линейно выражается через остальные векторы системы.

Это утверждение (необходимое и достаточное условие линейной зависимости) доказано на лекции.

Нетрудно доказать, что система арифметических векторов

линейно независима и что для любого из Rn система векторов линейно зависима: .

2.1.4. Необходимое условие линейной независимости системы векторов (в координатах)

Теорема (необходимое и достаточное условие линейной независимости в координатной форме). Cистема векторов из Rn линейно независима тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель, строками (столбцами) которого являются компоненты векторов системы:

 

 

Теорема доказана на лекции.

Следствиями из этой теоремы являются следующие утверждения:

  1. если , то система векторов из Rn — линейно зависима;

  2. любая система векторов из Rn, k > n — линейно зависима.

 

2.2. Размерность пространства Rn. Базис в Rn

2.2.1. Свойства базиса, естественный базис, координаты вектора в заданном базисе

Итак установлено, что в пространстве Rn существует система из n линейно независимых векторов, а любые n+1 вектора линейно зависимы.

Число n — размерность пространства Rn.

Определение. Любая упорядоченная линейно независимая система n векторов пространства арифметических векторов Rn называется базисом в Rn .

Нетрудно показать, что любой вектор единственным образом выражается через векторы базиса: . (На лекции единственность доказана).

Числа называют координатами вектора в базисе .

Линейно независимая система векторов

образует базис в Rn , который называют естественным базисом в Rn.

 

2.2.2. Линейные подпространства в Rn, размерность подпространства, базис в подпространстве

Определение. Множество L векторов из Rn , такое, что для любых и из L и любого числа a  справедливо , называется линейным подпространством в Rn.

Пример. Множество L арифметических векторов из Rn, у которых последние компоненты — нулевые, образует линейное подпространство в Rn:

Определение. Число k называется размерностью линейного подпространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора — линейно зависимы; обозначаем dimL=k.

Определение. Любая линейно независимая система из k векторов k-мерного линейного подпространства L образует базис линейного подпространства L.

Это означает, что если dimL=k и арифметические векторы из L линейно независимы, то для любого существует единственный набор чисел таких, что .

 

2.2.3. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису

Пусть и — два базиса в Rn.

Определение. Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица C, столбцами которой являются координаты векторов в базисе :

Матрица перехода обратима, поскольку векторы базиса линейно независимы и, следовательно, (см. п. 2.1.4, необходимое и достаточное условие линейной независимости).

Вектор линейно выражается через векторы обоих базисов. Связь координат вектора в разных базисах установлена в следующей теореме.

Теорема. Если

то координаты вектора в базисе , и его координаты в базисе связаны соотношениями

где — матрица перехода от базиса к базису , — векторы-столбцы координат вектора в базисах и соответственно.

Доказательство.

Пусть произвольный вектор из Rn следующим образом линейно выражается через векторы двух различных базисов:

и .

Поскольку векторы принадлежат пространству Rn, то они также линейно выражаются через векторы базиса :

Тогда справедливо:

т.е.

что равносильно равенству

Обозначим

Тогда, можно записать:

Поскольку векторы базиса линейно независимы, из необходимого и достаточного условия линейной независимости системы векторов в координатной форме следует, что т.е. матрица перехода обратима и тогда

Теорема доказана.

В начало
Вернуться на страницу <Методические разработки>

Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2019. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100