Пример 3 Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем (задача Коши)
Пример 3.1 Решить дифференциальное уравнение с начальными условиями, используя операторный метод
Суть операторного метода состоит в том, что для линейных дифференциальных уравнений существует изоморфизм (взаимно-однозначное соответствие) между функциями-оригиналами, входящими в уравнение и их изображениями (образами при преобразовании Лапласа). Применяя преобразование Лапласа (выполняется блоком символьных вычислений MATHCAD) к исходному уравнению переходим от дифференциального уравнения к алгебраическому уравнению для изображений. Затем по функции-изображению, удовлетворяющей этому алгебраическому уравнению, ищется функция - оригинал, являющаяся решением исходного диференциального уравнения.
Преобразование Лапласа для левой части уравнения удобнее посмотреть в компьютерном варианте настоящего издания. Здесь приведем конечную формулу, полученнную после подстановки краевых условий


Преобразование Лапласа для правой части уравнения
Далее проведем решение в символьном виде алгебраической задачи
Теперь выполнив обратное преобразовани найдем решение исходной диференциальной задачи
Проверка
Проверка выполнения краевых условий задачи Коши
Ответ
Для решения этого уравнения можно также использовать стандартную функцию odesolve. Операторный метод с использованием преобразования Лапласа является точным и читателю предоставляется возможность решить эту задачу, используя стандартную функцию odesolve, и сравнить результаты расчетов.
Аналогичный подход применим и для линейных систем дифференциальных уравнений. При этом в результате применения преобразования Лапласа к исходной системе будет получена алгебраическая система линейных уравнений, после ее решения применив к найденным изображениям обратное преобразование Лапласа найдется и решение исходной дифференциальной системы.
Пример 3.2 Решить систему линейных уравнений, используя операторный метод
(преобразование Лапласа)
Проведем преобразование Лапласа исходных уравнений
Найдем представление для изображений
Найдем искомые функции, выполнив обратное преобразование Лапласа
Проверка
Ответ
Пример 3.3 Решить дифференциальное уравнение с начальными условиями, используя операторный метод (Remix примера 3.1 предложенный Ахмаровым С.И.)
Обозначим
Для "Лаплас-образов" искомой функции и ее производных введем следующие обозначения
С учетом введенных обозначений имеем следующий "Лаплас-образ" исходного уравнения
Решим это уравнение относительно L и определим "Лаплас-образ" искомой функции
Теперь решение исходного уравнение представляется в виде (после проведения обратного преобразования Лапласа)
И соответственно при заданных значениях параметров a0,a1,a2 имеем решение совпадающее с найденным в Примере 3.1
Интересно отметить, что в этом примере нет необходимости априорно задавать конкретные значения параметров а0,а1,а2 - полученное решение есть общее решение задачи Коши при произвольных значениях параметров a0,a1,a2.
Вот как выглядит решение задачи при различных значениях параметра а1