Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


 
Практикум по статистике с пакетами StatGraphics, Statistica, SPSS
Ю.А.Горицкий, Е.Е.Перцов

Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Приложение 2 | Литература

Приложение 1: Методы построения оценок

Метод моментов

Пусть x1, ..., xn - n независимых наблюдений над случайная величиной x с функцией распределения F (x/a), зависящей от параметра a = (a1, ..., aR), n f1.gif (841 bytes) R; значение параметра требуется оценить по наблюдениям.

Пусть mk = Mx k - момент порядка k. Моменты являются функциями параметра a: mk= fk(a1, ..., aR). Пусть существуют первые R моментов m1, ..., mR. Если бы моменты были известны, можно было бы составить систему уравнений для определения параметров по моментам:

m1 = f1(a1,...,aR),

. . .

mR = fR(a1,...,aR );

пусть эта система разрешима относительно a:

a1 = g1(m1,...,mR),

. . . (1)

aR = gR(m1,...,mR ).

когда решается задача оценивания, значения моментов неизвестны, однако, для моментов имеются несмещенные и состоятельные оценки

, k =1,...,R.

Подставив их в (1) вместо mk, получим некоторые оценки для aj:

(x1 ,... xn) = g1 (1 ,..., R ),

. . .

( x1 ,... xn) = gR (1 ,..., R ),

которые называют моментными оценками.

Несмещенностью они, вообще говоря, не обладают; обычно их исправляют. Справедливы следующие свойства.

1. Если функции gj (.), j = 1 ,..., R, непрерывны, то оценки состоятельны.

2. Если функции gj(.) дифференцируемы, а распределение при любом a имеет 2R моментов, то оценки асимптотически нормальны:

~ N (aj, .

Замечания.

1. В равенствах (1) вместо первых моментов можно взять любые R моментов так, чтобы система была разрешима.

2. Моментные оценки не всегда обладают хорошими характеристиками. Однако, часто они достаточно просты в вычислительном отношении.

Метод наибольшего правдоподобия

    1. Определения. Пусть имеется некоторая совокупность x = (x1 ,..., xn) наблюдений. Рассмотрим вероятность (или плотность) p(x/a) получить это x при различных a = (a1 ,..., aR). в качестве оценки возьмем то значение а, для которого вероятность p(x/a) максимальна; такой способ оценивания называется методом наибольшего (максимального) правдоподобия.

Функция p(x/a), понимаемая как функция от а, называется функцией правдоподобия. Значение а* , доставляющее максимум функции правдоподобия, называется оценкой наибольшего (максимального) правдоподобия:

p(x/a* ) = p (x/a).                               (2)

Заметим, что а* есть функция наблюдений х: а* = а* (х). При обычных условиях регулярности максимум находится из системы уравнений

i = 1, ..., R.                    (3)

Пример. Пусть х = (х1, ..., xn) - независимые наблюдения над случайной величиной, нормально распределенной с параметрами b и s2 (роль двумерного параметра а в определении играет пара b и s2 ). Плотность распределения выборки

p(x/ b, s2) = p(x1, ..., xn /b, s2) = . (3)

Поскольку значения х1 ,..., xn известны, величина p(x1, ..., xn/b, s2) является функцией от b и s2. система (3):

Решение этой системы, т.е. оценки наибольшего правдоподобия:

    1. Свойства оценок наибольшего правдоподобия.

Пусть x - случайная величина с законом распределения q(. /a), x = (x1,..xn)- n независимых наблюдений, p(x1, ..., xn /a) = - распределение выборки.

При некоторых достаточно широких условиях оценки наибольшего правдоподобия обладают хорошими свойствами, а именно, они состоятельны, асимптотически эффективны и асимптотически нормальны с параметрами (для одномерного случая)

Mа* = а, Dа* ={n}-1

условия таковы: а) независимость множества X = { x: q(x/a) = 0} от а; б) существование производных и ; в) существование . Доказательство можно найти, например, в [ 2] .

Метод порядковых статистик

Пусть x1, ..., xn - n независимых наблюдений над случайная величиной x с функцией распределения, зависящей от параметра a, значение которого тебуется оценить; x(1)f2.gif (837 bytes) x(2)f2.gif (837 bytes)... f2.gif (837 bytes)x(n) - вариационный ряд (наблюдения, упорядоченные по возрастанию), x(k) - порядковая статистика с номером k.

Квантиль xр выбранного уровня р (например, р = 0.5, x0.5 -медиана) является функцией параметра а:

xр = f(a),

выразим а через xр

а = g(xр)

и вместо xр подставим выборочную квантиль = x([np]+1), которой является порядковая статистика с номером [np] +1; получим оценку

= g(x([np]+1))

Известны следующие свойства.

Если функция g непрерывна, то оценка состоятельна. Если распределение наблюдений непрерывно с плотностью q(x) , то асимптотически нормальна с параметрами

M= xр, D=

(теорема Крамера).

Ясно, что таким же образом можно построить оценки и для неодномерного параметра. Основное и очень важное преимущество оценок, основанных на порядковых статистиках, - их устойчивость к засорению наблюдений.

В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Приложение 2 | Литература

Вернуться на страницу <Методические разработки>

Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2017. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100