Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


 
Введение в Wolfram Mathematica
Л. Выговский.

Что это такое?

Wolfram Mathematica (WM) является пакетом символьной математики. Огромное количество заложенных разработчиками функций, а также открытая среда, позволяющая дополнять пакет своими собственными расширениями делает его возможности воистину безграничными. Mathematica имеет высокую скорость и практически не ограниченную точность вычислений, что позволяет ей работать как на очень мощных компьютерах, так и не очень сильных персональных компьютерах. На основе ядра пакета имеется Web-сервер, который позволяет пользоваться ее возможностями неограниченному числу людей.


Часто основыми конкурентами пакета называют Maple, MathCAD и MatLab. Если с первым сложно поспорить, то насчет MathCAD и MatLab можно. Дело в том, что эти два пакета занимают совсем другую нишу, нежели Mathematica. Оба при вычислении используют численные алгоритмы, а не символьные. Символьные вычисления являются слабо развитыми (по сравнению c пакетами символьных вычислений) дополнениями. Гораздо более похожим продуктом является бесплатно распространяемый пакет Maxima.


Основы интерфейса

Рассмотрим основные понятия Mathematica. После установки пакета в главном меню создаются ярлыки на два файла: Mathematica и Mathematica Kernel. Дело в том, что ярлык Mathematica Kernel запускает ядро пакета, которое производит все вычисления, а ярлык Mathematica запускает интерфейсную часть пакета.


Интерфейс пакета строится из нескольких базовых понятий: Тетрадь (Notebooks), Ячейка (Cell) и Палитра (Palletes). Тетрадью называется файл, с которым работает пользователь. В нем создаются и вычисляются формулы, строятся графики и таблицы. При желании, в тетради можно даже проиграть звуковой файл или фильм.


Тетрадь состоит из ячеек. Грубо ячейку можно сравнить с параграфом в текстовом редакторе. Все информация, которая есть в тетради, храниться в его ячейках. Как только Вы в пустом новом файле наберете хотя бы один символ, Mathematica создаст для него ячейку. Ячейка также является минимальной единицей, которую можно вычислить. То есть, если у Вас в ячейке есть две формулы, вычислить их раздельно не получиться. Все ячейки можно разделить на три типа:


  • Ячейки ввода – в них задаются команды (формулы), которые будут вычислены;
  • Ячейки результата – в них Mathematica выводит результат вычислений;
  • Другие ячейки – ячейки с текстом, заголовки и все остальное, что вводит пользователь и вычислять не надо (можно было бы назвать их не вычисляемые ячейки).

Любые ячейки можно объединять и разбивать с помощью команд меню Cell: Divide Cell (разбить ячейку) и Merge Cells (объединить ячейки).


Для быстрого доступа к функциям, разработчики Mathematica ввели специальные типы окон, которые называются палитрами. Палитры содержат окна с кнопками, которые выполняют действия. Действия могут быть соврешенно различными: от добавления греческой буквы, до раскрытия скобок в алгебраическом выражение. Различные палитры доступны через меню File-Palletes. Приложение приведена функциональность нескольких палитр.


Ввод данных осуществляется в ячейки. Пакет поддерживает кириллицу и греческие буквы наравне с английским алфавитом. Вы можете смело называть переменные русскими буквами, также как и греческими. В то же время, идентификаторы различаются по регистру, т.е. переменная A не то же, что переменная a. Для такого ввода индекса можно воспользоваться палитрой Basic Input. С помощью нее также можно ввести шаблоны операций (таких как сумма, умножение, корень) и греческие буквы. Другие символы можно найти на палитре Basic Typesettings. Полный список всех символов, которые знает Mathematica, можно найти на палитре Complete Charecters. Чтобы ввести символ, нужно нажать на кнопку с его изображением.


Греческие символы гораздо удобнее вводить с помощью клавиши ESC. Сначала нажимается ESC (при этом в ячейке выводиться три вертикальных точки), затем имя буквы, например alpha, и снова ESC. Эта комбинация даст . . Основные буквы приведены в приложение, а полный список можно найти в электронной помощи (см. ). Для ввода индексов также удобно использовать горячие клавиши. Например, нижний индекс дает комбинация CTRL+-, верхний — CTRL+^. Список основных комбинаций горячих клавиш также можно найти в приложение.


Палитры, кроме прямого ввода символа, также имеют очень полезное свойство показывать в внизу своего окна ESC-комбинацию символа.


Wolfram Mathematica имеет развитые средства форматирования текста. С помощью их можно разбивать тетрадь на главы и разделы, вводить поясняющий текст и т.д. Обычно стиль задается всей ячейке целиком, хотя никто не мешает Вам использовать такое форматирование как курсив и полужирное начертание внутри ячейки.


Для того, чтобы задать стиль ячейки, ее необходимо сначала выделить (щелкнув левой кнопкой мышки по синей полоске справа от ячейки). Затем через меню Format->Style выбрать нужный стиль, например заголовок. Если указывать стили вроде раздела или заголовка, то следующие ячейки будут вложены в эту ячейку. Закрыв ее (двойным щелчком мыши по синий полоске), они спрячутся с экрана. Следующий заголовок начнет новую группу ячеек.


Помимо ячеек, стили можно задать всей тетради. Этот шаг изменить отображения всех стандартных стилей и может добавить новые. Так, заголовок может стать не черным, а синим, все ячейки ввода заиметь черную рамку сверху и по-бокам, а ячейки вывода будут иметь рамки по бокам и снизу.


Из стандартных стилей ячеек, хотелось бы отметить два. Первый, Text, служит для ввода текста. Он использует шрифт с засечками (в стиле по умолчанию, это Times New Roman) и ячейка становиться не вычисляемой. Второй стиль называется Display Formula, и позволяет вводить более изящные формулы, чем Input (который используется по умолчанию).


Сравните, к примеру две формулы:


Input Display Formula
Sin(2x) = 2Cos(x) Sin(x) Sin(2x) = 2Cos(x) Sin(x)

Конечно Display Formula, это не TEX, и даже не MS Equation, но смотрится по-лучше, чем Input.


Вычисления


Наконец, мы добрались до самого главного — вычислений. Основой вычислений в Mathematica являются переменные. Для того чтобы объявить переменную, достаточно просто написать ее имя. Для того, чтобы что-либо положить в переменную, используется операция присвоения. В следующем примере в переменную а будет положено значение 2.

	a = 2
Теперь, если запустить расчет ячейки (с помощью комбинации клавиш SHIFT+ENTER, или с помощью клавиши ENTER на дополнительной клавиатуре (калькуляторе), или с помощью меню Kernel->Evalution, Evalute Cells) Mathematica создаст ячейку результат и выведет туда значение переменной а.


В предыдущем примере было показано явное присвоение, бывает также отложенное присвоение, которое задается строкой :=. Разницу лучше всего показать на примере:

	a = 2
	b = a
	a = 3
Теперь а содержит 3, а b содержит 2. Обратите внимание, что Mathematica создала 3 ячейки результата, по одной на каждое выполнение действие. Запретить создание ячейки результата можно, если после действия поставить знак ;.


Теперь проделаем то же самое, заменим вторую операцию на явное присвоение:

	a = 2
	b := a
	a = 3
Во-первых, теперь создались только 2 ячейки, для первого и третьего присвоения. Теперь a по прежнему содержит 3, а вот b не содержит никакого значения. Когда мы попробуем обратиться к ней, нам вернется текущее значение a. Например, в предыдущем примере запись b + 2 выдаст 4, а в этом случае — 5.


Переменные можно обрабатывать с помощью функций. Самый простой способ применить функцию, это вызвать ее с помощью палитры AlgebraicManipulation. Для этого формула, к которой требуется применить функцию, должна быть выделена. Результат функции заменит выделенную формулу. Так, если написать формулу

	(x + y)2
и применить функцию Expand (разложить), мы получим

	x2 + 2xy + y2
если же к полученному применить команду Factor (разложить на множители), мы получим исходную формулу. В приложение эта палитра рассмотрена более подробно.


Второй способ заключается в непосредственном вводе функции в ячейку,и является основным. При вызове функции, используются следующие правила. Первое, все стандартные функции начинаются с заглавной буквы. Второе. Параметры функции передаются в квадратных скобках. Так, для того чтобы сделать предыдущий пример, необходимо написать следующее. После выполнения примера, a будет равно c.

	a = (x+y)2
	b = Expand[a]
	c = Factor[b]
Для сравнения переменных используются операции == (равно), != (не равно), > (больше), < (меньше), >= (больше равно), <= (меньше равно). Mathematica может осуществить операцию сравнения a и c, но не операцию, к примеру, больше. Результат выдается в виде логических значений True (истинно) и False (ложно).


Мощной возможностью пакета является обработка массивов значений. Массив представляет собой набор данных и задается следующим образом:

	a = {1,2,3,4}
В переменой a будут лежать четыре числа. Чтобы получить конкретный элемент массива, его номер указывается в двойных квадратных скобках. Индексация элементов массивов начинается с 1:

	a[[1]]
вернет 1. Если к массиву применить какую-либо функцию, она будет вычислена для каждого элемента массива отдельно, и результатом будет массив выходных значений функции. Например,

	a2
вернет массив

	{1,4,9,16}
Если Вы примените к двум массивам какую-либо бинарную операцию, то она будет выполнена для элементов массивов. Так, для входа

	arr1 ={ a,b,c}
	arr2 = {x,y,z}
	arr1+arr2
результатом будет

	{a+x,b+y,c+z}.
Такая обработка массивов является очень удобной. Для Вас уже нет разницы, решить задачу для одного варианта входных данных или для нескольких, работа ведется как с обычными переменными.


Для более удобного создания массива предоставляется целый ряд функции. Здесь я расскажу только о наиболее часто употребляемой Table. Эта функция принимает на вход выражение с переменной (одной или несколькими), и их диапазоны. Возвращается массив, который состоит из вычисленных значений выражения с подставленной переменной. Например выражение

	arr = Table[i+3,{i,-3,3}]
вернет массив

	{0,1,2,3,4,5,6}.
Массивы могут многомерными, их обработка ведется аналогично двухмерным, а задаются они как массивы, состоящие из массивов:

	arr1={{a,b,c},{aa,bb,cc},{aaa,bbb,ccc}};
	arr2={{z,x,y},{zz,xx,yy},{zzz,xxx,yyy}};
	arr1+arr2
вернется массив

	{{a+z,b+x,c+y},{aa+zz,bb+xx,cc+yy},
	{aaa+zzz,bbb+xxx,ccc+yyy}}.

Справочная система


Огромным достоинством программы Wolfram Mathematica является справочная система. Она включает в себя не только очень качественное описание функций с примерами, а также учебник. В ней есть все материалы для тех кто только начинает работу с приложением, и для тех кто работает с ней очень давно.


Для вызова справки используются меню Help и его команда «Help Browser...». Справочная система Mathematica состоит из нескольких разделов, которые разделены на главы и подглавы. Всего имеется 7 частей помощи, они вынесены с помощью закладок.


  1. Built-in Functions – список всех строенных функций приложения, разделенных по математическим областям (Численные вычисления, алгебраические, линейная алгебра и т.д.);
  2. Add-on & links – описание стандартных пакетов Mathematica, которые расширяются ее встроенные функции;
  3. The Mathematica Books – полноценный и очень подробный учебник по программе;
  4. Front End – описание интерфейса программы (меню, горячие клавиши, ESC- последовательности и т.д.);
  5. Getting Started - «быстрый старт», небольшой курс основ интерфейса программы;
  6. Tour – небольшой курс основ вычислений в программе. Отличием от предыдущего является обзор математических возможностей программы;
  7. Demos – различные примеры использования программы;
  8. Master Index – главный индекс справочной системы. Содержит описание всех функций и ESC-последовательностей в упорядоченном по алфавиту списке.

Для поиска нужной функции по названию также применяется строка поиска, которая находится над вкладками. Кнопка «Go» осуществляет поиск введенного слова в индексе. Кнопки влево/вправо служат для перемещения по истории просмотра, а вверх/вниз для перехода на следующий раздел помощи.


Как правило, каждая статья описания встроенной функция содержит 3 части: краткое описание, подробной описание и примеры работы. Краткое содержание содержит все возможные способы вызовов функции и их действия. Подробное описание дополняет краткое список опций функции, ограничениями и возможными ошибками. Примеры демонстрирует несколько различных вызовов с описанием их работы.


Одной из особенностью программы является название стандартных функций полными именами без сокращений. Это позволяет (при определенном уровне знания математического английского языка) очень быстро находит нужные функции.


Приложение

Список наиболее часто используемых горячих клавиш


Комбинация Действие
CTRL+2 Шаблон квадратного корня ()
CTRL+6 Верхний индекс ()
CTRL+7 Надстрочный символ ()
CTRL+- Нижний индекс ()
CTRL+= Подстрочный символ ()
CTRL+/ Дробь ()
CTRL+2, затем CTRL+5 Корень любой степени ()
SHIFT+ENTER или правый ENTER Вычисляет текущую ячейку
ALT+ENTER Создает новую ячейку
SHIFT+CTRL+D Разбивает текущую ячейку
SHIFT+CTRL+M Склеивает несколько ячеек

Для ввода греческой буквы применяется либо ее полное название (например, alpha), либо только ее первая буква (a). Шаблоны позволяют задавать функции в более читаемом виде.

Обзор стандартных палитр

Палитра Algebraic Manipulation позволяет осуществлять алгебраические операции и использовать программу как калькулятор. В таблице приведено описание доступных функций.

Название функции Описание
Expand Раскрывает скобки
Factor Раскладывает на множители
Together Приводит к общему знаменателю
Apart Раскладывает выражение на сумму дробей с минимальными знаменателями
Cancel Сокращает дроби в выражение
Simplify Пытается упростить выражение
FullSimplify Производить упрощение выражение, проводя более тщательный анализ, чем Simplify
TrigExpand Раскрывает тригонометрическое выражение
TrigFactor Раскладывает тригонометрическое выражение на множетели
TrigReduce Переписывает выражение путем внесение под функцию разных аргументов
TrigToExp Преобразует тригонометрическое выражение в экспоненциальное
ExpToTrig Преобразует экспоненциальное выражение в тригонометрическое
PowerExpand Раскрывает все степени степеней и произведений
ComplexExpand Раскрывает комплексные выражения, при этом все переменные подразумеваются вещественными числами

Basic Calculation предоставляет доступ к шаблонам множества встроенных функций программы. При этом функции разбиты по категориям и часто содержат комментарии.


Basic Input предоставляет доступ к наиболее часто требуемым шаблонам и специальным символам.


Basic Typesettings предоставляет доступ ко множеству специальных символов, также содержит несколько шаблонов управления положением текста (вроде надстрочных и подстрочных символов, нижних и верхних индексов).


Complete Characters содержит все символы, которые можно ввести в программе. Символы разбиты на группы.


International Characters предоставляет доступ к символам с умляутами и точками над буквами.


Notebook Launcher – позволяет быстро создать новую тетрадь с выбранным стилем.


 

Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2017. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100