Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


Учебная энциклопедия гиперболических функций

I. Определение, основные свойства и графики гиперболических функций

В начало

определения ~ гипербола ~ производные ~ вторые производные ~ графики

 

1. Гиперболическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются функции :

image004.gif (383 bytes); image006.gif (712 bytes); image008.gif (542 bytes).
Областью определения функций shx , chx , thx является вся числовая ось; функция y=cthx не определена в точке х=0. Название гиперболических функций (синус, косинус, …) объясняется тем, что для них справедливы тождества ''похожие'' на тригонометрические:

ch(x± y)=chx · chy ± shx · shy , (1)

sh(x± y)=shx · chy± chx · shy , (2)

ch2x–sh2x=1 , (3)

ch2x=ch2x+sh2x , (4)

sh2x=2shx · chx . (5)

Тождества (2) и (5) аналогичны соответствующим формулам тригонометрии, а формулы (1) , (3) и (4) отличаются от тригонометрических только знаком. Доказываются тождества (1) – (5) непосредственной проверкой. Более подробно о тождествах для гиперболических функций изложено в разделе III.

 

2. Рассмотрим уравнение гиперболы:

image010.gif (386 bytes)

Его можно записать в параметрическом виде, используя гиперболические функции (этим и объясняется их название).

Обозначим y= b·sht , тогда х2 / а2=1+sh2t =ch2t . Откуда x=± a·cht .


Таким образом мы приходим к следующим параметрическим уравнениям гиперболы :

 

x= ± a ·cht ,


у= в ·sht , – infty.gif (840 bytes) < t < infty.gif (840 bytes) . (6)

image012.gif (2854 bytes)

Рис. 1.

Знак ''+'' в верхней формуле (6) соответствует правой ветви гиперболы, а знак ''– '' - левой (см. рис. 1). Вершинам гиперболы А(– а ; 0) и В( а ; 0) соответствует значение параметра t=0.


Для сравнения можно привести параметрические уравнения эллипса, использующие тригонометрические функции :


x=а·cost ,


y=в·sint , 0 less.gif (65 bytes) t less.gif (65 bytes) 2p . (7)


3. Очевидно, что функция y=chx является четной и принимает только положительные значения. Функция y=shx – нечетная, т.к. :

image014.gif (664 bytes).


Функции y=thx и y=cthx являются нечетными как частные четной и нечетной функции. Отметим, что в отличие от тригонометрических, гиперболические функции не являются периодическими.


4. Исследуем поведение функции y= cthx в окрестности точки разрыва х=0:
image016.gif (115 bytes)
Таким образом ось Оу является вертикальной асимптотой графика функции y=cthx . Определим наклонные (горизонтальные) асимптоты :

image020.gif (1719 bytes)


Следовательно, прямая у=1 является правой горизонтальной асимптотой графика функции y=cthx . В силу нечетности данной функции ее левой горизонтальной асимптотой является прямая у= –1. Нетрудно показать, что эти прямые одновременно являются асимптотами и для функции y=thx. Функции shx и chx асимптот не имеют.


5. Найдем производные основных гиперболических функций:

image022.gif (1161 bytes)

2) (chx)'=shx (показывается аналогично).

image024.gif (1344 bytes)

4) image026.gif (437 bytes)

Здесь так же прослеживается определенная аналогия с тригонометрическими функциями. Полная таблица производных всех гиперболических функций приведена в разделе IV.

6. Нетрудно вычислить вторые производные основных гиперболических функций:

1) image028.gif (477 bytes)

2) image030.gif (500 bytes)

3) image032.gif (792 bytes)

4) image034.gif (755 bytes)

7. Используя результаты п. 1-6, строим графики основных гиперболических функций:

image036.gif (2385 bytes)

image038.gif (2712 bytes)

Рис. 2

Рис. 3

image040.gif (2161 bytes)

image042.gif (2325 bytes)

Рис. 4 Рис. 5

Наверх

В начало

Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2017. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100