Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


Учебная энциклопедия гиперболических функций

XI. Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании

В начало

Рассмотрим дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании [4]:

image146.gif

Здесь у=у(х) – прогиб балки, q(x) – реактивные давления упругого основания (нагрузка на основание), р(х) – внешняя нагрузка на балку, E и J– модуль упругости и момент поперечного сечения балки (см. рис. 12).

image146.gif

Рис. 12.

Осадка поверхности упругого основания у(х) связана с нагрузкой на основание q(x) законом:

image146.gif,

где t и k – механические характеристики упругого основания [4] . Считая, что прогиб балки совпадает с осадкой поверхности упругого основания, после исключения из обоих уравнений q(x) получим основное дифференциальное уравнение задачи, выражающее связь между нагрузкой на балку и её прогибом:

image146.gif

При решении рассматриваемого дифференциального уравнения изгиба балки на упругом основании с двумя характеристиками t и k удобно перейти от действительной координаты х к приведенной координате image146.gif, где

image146.gif

– величина, имеющая размерность длины и называемая упругой характеристикой балки, Е0 и n0– модуль упругости и коэффициент Пуассона основания, d – ширина балки. Дифференциальное уравнение окончательно перепишется в виде:

image146.gif

Здесь r2 и s4 – безразмерные, упругие характеристики, определяемые по формулам:

image146.gif

Для решения дифференциального уравнения (8) прежде всего необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения:

image146.gif

Как указывалось ранее (см. X), общий интеграл однородного дифференциального уравнения четвертого порядка будет иметь вид:

у(h)=с1у1(h)+с2у2(h)+с3у3(h)+с4у4(h) ,

где с1, с2, с3, с4 – произвольные постоянные;

у1234 - линейно независимые функции, определяемые по значениям корней характеристического уравнения:

l4-2r2l2+s4=0 .

С учетом того, что характеристики r и s не могут быть отрицательными, возможны три случая соотношений между s и r , в соответствии с которыми будут определяться корни характеристического уравнения:

1) s> r> 0 , l1,2,3,4 =±(a ± b i) ,

где a и b - действительные положительные числа

image146.gif

2) s= r , k1 = k2 = r , k3 = k4 = - r .

3) s< r

image146.gif

На основании найденных корней характеристического уравнения в табл.1 для удобства сведены выражения функций уi, i=1,2,3,4.

Таблица 1

 
s , r y1 (нечетная) y2 (четная) y3  (нечетная) y4  (четная)
s>r  shah cosbh chah cosbh chah sinbh shah sinbh
s=r shrh chrh h chrh h shrh
s< r shk1h chk2h shk3h chk4h

 

Значения k1 и k2 , использованные в табл.1, определяются по формулам:

image146.gif

В справочике [5] приведены подробные таблицы числовых значений комбинаций круговых и гиперболических функций (см. табл.1), которые часто встречаются при практических расчетах элементов конструкций. Таблицы составлены для интервала изменения аргумента от 0 до 6p с шагом 0,005 в интервале от 0 до 2p и шагом 0,01 в интервале от 2p до 6p .

Наверх

В начало

Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2017. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100