Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


Учебная энциклопедия гиперболических функций

X. Использование гиперболических функций при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений

  В начало

Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения п- го порядка вида:

image146.gif

где коэффициенты image146.gif- непрерывные функции от х или постоянные.

Если f(x) 0 , то уравнение называется неоднородным, если f(x) 0 - однородным.

Рассмотрим линейное однородное уравнение:

image146.gif

Если функции image146.gifявляются линейно независимыми решениями, рассматриваемого дифференциального уравнения, то его общее решение определяется формулой:

image146.gif

где image146.gif- произвольные постоянные.

Напомним, что функции у1(х), у2(х),…,уn(x) называются линейно независимыми на некотором промежутке, если они не связаны никаким тождеством:

image146.gif

где image146.gif- постоянные, не равные нулю одновременно. В случае двух функций это означает: у1(х) и у2(х) линейно независимы, если их отношение не является постоянной величиной.

Когда коэффициенты линейного дифференциального уравнения – постоянные величины, его частные линейно независимые решения находятся при помощи корней соответствующего характеристического уравнения:

image146.gif

Принимаем во внимание, что:

а) каждому действительному простому корню l соответствует частное решение еlх ;

б) каждой паре комплексно-сопряженных корней image146.gifсоответствуют два частных решения: image146.gif

в) каждому действительному корню кратности К соответствует К частных решений:

image146.gif

г) каждому комплексному корню l=a+bi кратности К соответствует 2К частных решений:

image146.gif

Если среди действительных корней или действительных частей комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения имеются пары равных по абсолютной величине и противоположных по знаку (обозначим их a и -a ), то выражая еaх и е-aх через гиперболические функции получим:

image146.gif

Тогда общее решение дифференциального уравнения будет содержать в качестве линейно независимых решений функции вида:

image146.gif

Рассмотрим некоторые часто встречающиеся примеры линейных дифференциальных уравнений, общие решения которых записываются с использованием гиперболических функций.

1) у''- а2у=0 , a >0 .

Характеристическое уравнение l2-a2=0 легко решается и дает:

l1=а, l2 = – а.

Таким образом: |l1 |=| l2 |= а, l1 =- l2. Поэтому решение принимает вид:

у= с1 chax+ с2 shax .

2) у(I V) +m y=0 .

А. m =-а4< 0, в этом случае характеристическое уравнение l4- а4=0 имеет следующие корни: l1,2=± а , l3,4 =± iа . Таким образом:

у= с1 chax+ с2 shax+ с3 cosax+ с4 sinax .

Б. m =4а4 > 0 , после решения характеристического уравнения l4+ 4а4=0  получим две пары комплексно-сопряженных корней, имеющих равные по абсолютной величине и противоположные по знаку действительные части:

l1,2,3,4=± а(1± i ) .

В качестве линейно независимых частных решений рассматриваемого однородного уравнения берём:

у1(х)=chax cosax , у2(х)=chax sinax ,

у3(х)=shax cosax , у4(х)=shax sinax .

Следовательно, общее решение однородного дифференциального уравнения примет вид:

у= С1chax cosax + С2сhax sinax + C3shax cosax+ C4shax sinax .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Проинтегрировать следующие нелинейные дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядков:

1. image146.gif. Уравнение с разделяющимися переменными.

Ответ: y=sh(x+c).

2. image146.gif. Подстановка image146.gif

Ответ: image146.gif

3. image146.gif. Подстановка image146.gif

Ответ:

1) у= -с1th(с1x+ с2) , если |у| < | с1|;

2) у= -с1arcth(с1x+ с2) , если |у| > | с1|

4. image146.gif. Гиперболическая подстановка image146.gif

Ответ: у=ch(x+ с1)+ с2.

5. image146.gifГиперболическая подстановка y=x shz, image146.gif

Ответ: y=x·sh(x+c) .

6. image146.gifГиперболическая подстановка y=x shz .

Ответ: image146.gif

7. y'+ а2у2 - в2=0 . Это уравнение с разделяющимися переменными.

Ответ: image146.gif

8. image146.gif. Однородное уравнение. Подстановка image146.gif

Ответ: image146.gif

9. image146.gif. Подстановка image146.gif

10. image146.gifУравнение, допускающее понижение порядка.

Ответ: у=sh(x+ с1)+ с2 x+ с3 .

Наверх

В начало

Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2017. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100