Приближение функций. Метод наименьших квадратов.

Функция задана таблицей значений  [Graphics:1.gif],  [Graphics:2.gif]. Найти приближение функции многочленом оптимальной степени методом наименьших квадратов.

Введем векторы исходных данных

[Graphics:3.gif]

Определим базисные функции. Так как мы приближаем функцию многочленом, базисные функции будут степенными функциями.

[Graphics:4.gif]

[Graphics:5.gif]

[Graphics:6.gif]

Определим аппроксимационный полином степени [Graphics:7.gif]

[Graphics:8.gif]

Например, многочлен степени 2

[Graphics:9.gif]

[Graphics:10.gif]

Функция среднеквадратического отклонения многочлена степени [Graphics:11.gif]

[Graphics:12.gif]

Вычислим среднеквадратическое отклонение для многочленов степени 0,1,2 и 3

[Graphics:13.gif]

[Graphics:14.gif]

Видно, что наилучшее приближение получается при [Graphics:15.gif]

Нарисуем графики многочленов и исходных данных

[Graphics:16.gif]

[Graphics:17.gif]

[Graphics:18.gif]

[Graphics:19.gif]