Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


 
  Для студентов, изучающих высшую математику
Примеры по теме "Решение систем алгебраических уравнений итерационными методами" курса вычислительной математики

Пример 1 ~ Пример 2 ~ Пример 3

Пример 1. Решение системы линейных уравнений методом Якоби.

Пусть дана система уравнений:    image089.gif (1598 bytes)

Требуется найти решение системы с точностью   image090.gif (932 bytes)

Приведем систему к виду удобному для итерации:   image006.gif (1706 bytes)

Выберем начальное приближение, например,   image008.gif (1232 bytes)   - вектор правой части.

Тогда первая итерация получается так:   

image091.gif (1896 bytes)

Аналогично получаются следующие приближения к решению.

image092.gif (1393 bytes) ,        image093.gif (1442 bytes) ,        image094.gif (1507 bytes)

Найдем норму матрицы image018.gif (844 bytes).  Будем использовать норму image095.gif (942 bytes).

Так как сумма модулей элементов в каждой строке равна 0.2, то image095.gif (942 bytes) = 0.2 < 1/2, поэтому критерий окончания итераций в этой задаче image096.gif (1146 bytes).

Вычислим нормы разностей векторов:  image097.gif (1224 bytes) ,   image028.gif (1272 bytes).

Так как  image030.gif (1159 bytes),  заданная точность достигнута на четвертой итерации.

Ответ:  x 1 = 1.102,  x 2 = 0.991,  x 3 = 1.101

Теоретическая справка

Вернуться на страницу <Введение в вычислительную математику. Примеры>

В начало страницы

Пример 2. Решение систем линейных уравнений методом Зейделя.

Рассмотрим параллельно решение 3-х систем уравнений:

image038.gif (1174 bytes) ,     image040.gif(1180 bytes) ,     image042.gif (1201 bytes)

Приведем системы к виду удобному для итераций:

image044.gif (1506 bytes) ,     image098.gif (1402 bytes) ,      image099.gif (1491 bytes)

Заметим, что условие сходимости  image001.gif (964 bytes)  выполнено только для первой системы. Вычислим 3 первых приближения к решению в каждом случае.

1-ая система.     image003.gif (1171 bytes) ,     image054.gif (1210 bytes) ,     image056.gif (1271 bytes) ,     image058.gif (1274 bytes)

Точное решение здесь   x 1 = 1.4,    x 2 = 0.2. Итерационный процесс сходится.

2-ая система.     image064.gif (1119 bytes) ,     image066.gif (1094 bytes) ,     image068.gif (1156 bytes) ,     image070.gif (1172 bytes)   - итерационный процесс разошелся.

Точное решение   x 1 = 1,    x 2 = 0.2.

3-я система.     image075.gif (1134 bytes) ,     image077.gif (1122 bytes) ,     image079.gif (1105 bytes) ,     image081.gif (1109 bytes)   - итерационный процесс зациклился.

Точное решение   x 1 = 1,    x 1 = 2.

Для геометрической интерпретации полученных результатов постройте чертеж.

Теоретическая справка

Вернуться на страницу <Введение в вычислительную математику. Примеры>

В начало страницы

Пример 3. Решение систем линейных уравнений методом простой итерации.

Вернуться на страницу <Введение в вычислительную математику. Примеры>

В начало страницы

 

Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2017. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100