Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


Курс введения в вычислительную математику.
Готовые занятия

Список курсов ВМ

 
Занятие 2
Теоретический материал Теоретическая справка Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы

Постановка задачи приближенного решения уравнений ~ Этапы решения задачи ~ Метод бисекций ~ Метод Ньютона ~ Метод простой итерации

Пусть рассматривается уравнение image1.gif(983 bytes). Корнем уравнения называется значение image2.gif(860 bytes), при котором image3.gif(994 bytes). Корень image2.gif(860 bytes) называется простым, если
image4.gif(1004 bytes), в противном случае корень называется кратным. Целое число m называется кратностью корня image2.gif(860 bytes), если image5.gif(1034 bytes) для k=1,2,3-,m-1 и
image6.gif(1044 bytes).

Постановка задачи вычисления приближенного значения корня с точностью image7.gif(848 bytes): найти такое значения image8.gif(850 bytes), что image9.gif(1022 bytes).

Решение задачи разбивается на два этапа: на первом этапе осуществляют локализацию корней, на втором этапе производят итерационное уточнение корней. На этапе локализации корней находят достаточно узкие отрезки ( или отрезок, если корень единственный), которые содержат один и только один корень уравнения image1.gif(983 bytes). На втором этапе вычисляют приближенное значение корня с заданной точностью. Часто вместо отрезка локализации достаточно указать начальное приближение к корню.

В начало страницы

ПРИМЕР 1. Локализация корней.

Метод бисекции. Пусть [a,b] v отрезок локализации. Предположим, что функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах принимает значения разных знаков image10.gif(1087 bytes).

 

Алгоритм метода бисекции состоит в построении последовательности вложенных отрезков, на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Опишем один шаг итераций метода. Пусть на k-ом шаге найден отрезок image11.gif(1043 bytes) такой, что image12.gif(1260 bytes). Найдем середину отрезка image13.gif(1160 bytes). Если image14.gif(1031 bytes), то image15.gif(904 bytes)- корень и задача решена. Если нет, то из двух половин отрезка выбираем ту, на концах которой функция имеет противоположные знаки:

image16.gif(1013 bytes), image17.gif(1012 bytes), если image18.gif(1249 bytes)

 

image19.gif(1012 bytes), image20.gif(1017 bytes), если image21.gif(1256 bytes)

 

Критерий окончания итерационного процесса: если длина отрезка локализации меньше 2image7.gif(848 bytes), то итерации прекращают и в качестве значения корня с заданной точностью принимают середину отрезка.

 

Теорема о сходимости метода бисекций. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах принимает значения разных знаков image10.gif(1087 bytes).Тогда метод сходится и справедлива оценка погрешности : image22.gif(1492 bytes)

В начало страницы

ПРИМЕР 2. Решение уравнения методом бисекции.

Метод Ньютона (метод касательных) . Расчетная формула метода Ньютона имеет вид:

image23.gif(1396 bytes). Геометрически метод Ньютона означает, что следующее приближение к корню image24.gif(929 bytes) есть точка пересечения с осью ОХ

касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке image25.gif(1142 bytes).

 

Теорема о сходимости метода Ньютона. Пусть image2.gif(860 bytes) - простой корень уравнения image1.gif(983 bytes), в некоторой окрестности которого функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая image26.gif(855 bytes)- окрестность корня image2.gif(860 bytes), что при произвольном выборе начального приближения image27.gif(905 bytes) из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка

image28.gif(1281 bytes), где image29.gif(918 bytes), image30.gif(935 bytes).

 

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности image7.gif(848 bytes)>0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство image31.gif(1124 bytes).

В начало страницы

ПРИМЕР 3. Решение уравнения методом Ньютона.

Как указано в теореме, метод Ньютона обладает локальной сходимостью, то есть областью его сходимости является малая окрестность корня image2.gif(860 bytes). Неудачный выбор может дать расходящуюся итерационную последовательность.

В начало страницы

ПРИМЕР 4. Чувствительность метода Ньютона к выбору начального приближения.

Метод простой итерации (метод последовательных повторений). Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение image1.gif(983 bytes) преобразовать к виду, удобному для итерации image32.gif(985 bytes). Это преобразование можно выполнить различными способами. Функция image33.gif(943 bytes) называется итерационной функцией. Расчетная формула метода простой итерации имеет вид: image34.gif(1137 bytes).

 

Теорема о сходимости метода простой итерации. Пусть в некоторой image26.gif(855 bytes)- окрестности корня image2.gif(860 bytes)функция image33.gif(943 bytes) дифференцируема и удовлетворяет неравенству image35.gif(1049 bytes), где image36.gif(968 bytes) - постоянная . Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной image26.gif(855 bytes)- окрестности итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится

со скоростью геометрической последовательности и справедлива оценка погрешности:image37.gif(1375 bytes), image38.gif(908 bytes).

 

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности image7.gif(848 bytes)>0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство image39.gif(1246 bytes). Если величина image40.gif(1004 bytes), то можно использовать более простой критерий окончания итераций: image31.gif(1124 bytes).

Ключевой момент в применении метода простой итерации состоит в эквивалентном преобразовании уравнения. Способ, при котором выполнено условие сходимости метода простой итерации, состоит в следующем: исходное уравнение приводится к виду image41.gif(1034 bytes). Предположим дополнительно, что производная image42.gif(870 bytes) знакопостоянна и image43.gif(1064 bytes) на отрезке [a,b]. Тогда при выборе итерационного параметра image44.gif(1159 bytes) метод сходится и значение

image45.gif(1232 bytes) .

ПРИМЕР 5. Приведение уравнения к виду, удобному для итераций.

В начало страницы

Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы
Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2018. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100