Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы
https://hub.exponenta.ru/


Курс введения в вычислительную математику.
Готовые занятия

Список курсов ВМ

 
Занятие 10
Теоретический материал Теоретическая справка Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы

Постановка задачи Коши ~ Численное решение задачи Коши методом Эйлера ~ Оценка погрешности метода Эйлера ~ Правило Рунге ~ Модификации метода Эйлера второго порядка точности ~ Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера

 

Постановка задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка image015.gif(302 bytes) . Требуется найти функцию image017.gif(228 bytes) , удовлетворяющую при image019.gif(220 bytes) дифференциальному уравнению и при image021.gif(222 bytes) начальному условию image023.gif(296 bytes).

Теорема существования и единственности задачи Коши. Пусть функция image038.gif(255 bytes) определена и непрерывна на множестве точек image040.gif(447 bytes) . Предположим также, что она удовлетворяет условию Липшица: image042.gif(566 bytes) для всех image044.gif(269 bytes) и произвольных image046.gif(193 bytes), image051.gif(196 bytes) , где image053.gif(179 bytes) - некоторая константа (постоянная Липшица). Тогда для каждого начального значения image055.gif(196 bytes) существует единственное решение image057.gif(228 bytes) задачи Коши, определенное на отрезке image059.gif(249 bytes) .

Геометрически задача интегрирования дифференциальных уравнений состоит в нахождении интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное направление касательной. Заданием начального условия мы выделяем из семейства решений ту единственную кривую, которая проходит через фиксированную точку image061.gif(265 bytes)

 

Численное решение задачи Коши методом Эйлера.

Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений image063.gif(284 bytes) в точках image065.gif(265 bytes) . Точки image067.gif(277 bytes), image069.gif(268 bytes) называются узлами сетки, а величина image071.gif(182 bytes) - шагом сетки. В основе построения дискретной задачи Коши лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения его дискретным аналогом. Простейший метод основан на замене левой части уравнения правой разностной производной: image073.gif(453 bytes) . Разрешая уравнение относительно image075.gif(211 bytes) , получаем расчетную формулу метода Эйлера: image077.gif(394 bytes), image079.gif(268 bytes).

В начало страницы

ПРИМЕР 1. Решение задачи методом Эйлера.

Численный метод называется  явным, если вычисление решения в следующей точке image082.gif(211 bytes) осуществляется по явной формуле. Метод называется одношаговым, если вычисление решения в следующей точке image084.gif(209 bytes) производится с использованием только одного предыдущего значения image086.gif(189 bytes) . Метод Эйлера является явным одношаговым методом.

 

Оценка погрешности метода Эйлера.

Локальной погрешностью метода называется величина image089.gif(349 bytes) . Найдем величину локальной погрешности метода Эйлера: image091.gif(941 bytes) , при условии, что image093.gif(282 bytes) . Другими словами image095.gif(201 bytes) погрешность, которую допускает за один шаг метод, стартующий с точного решения. Глобальной погрешностью   (или просто погрешностью) численного метода называют сеточную функцию image097.gif(199 bytes) со значениями image099.gif(312 bytes) в узлах. В качестве меры абсолютной погрешности метода примем величину image101.gif(601 bytes) . Можно показать, что для явных одношаговых методов из того, что локальная погрешность имеет вид image103.gif(294 bytes) следует, что image105.gif(326 bytes) , где image107.gif(185 bytes) и M - некоторые константы. Таким образом, метод Эйлера является методом первого порядка точности. Для нахождения решения задачи Коши с заданной точностью image109.gif(177 bytes) требуется найти такое приближенное решение image111.gif(204 bytes) , для которого величина глобальной погрешности image113.gif(279 bytes) . Так как точное решение задачи неизвестно, погрешность оценивают с помощью правила Рунге.

Правило Рунге оценки погрешностей.  Для практической оценки погрешности проводят вычисления с шагами h и h/2. За оценку погрешности решения, полученного с шагом h/2, принимают величину, равную image115.gif(618 bytes) , где p - порядок метода.

В начало страницы

ПРИМЕР 2. Оценка погрешности по правилу Рунге.

 

Модификации метода Эйлера.

Метод Эйлера обладает медленной сходимостью, поэтому чаще применяют методы более высокого порядка точности. Второй порядок точности по image118.gif(182 bytes) имеет усовершенствованный метод Эйлера : image119.gif(702 bytes). Этот метод имеет простую геометрическую интерпретацию. Метод Эйлера называют методом  ломаных, так как интегральная кривая на отрезке image120.gif(262 bytes) заменяется ломаной с угловым коэффициентом image121.gif(278 bytes) . В усовершенствованном методе Эйлера интегральная кривая на отрезке image122.gif(263 bytes) заменяется ломаной с угловым коэффициентом, вычисленным в средней точке отрезка image123.gif(333 bytes) . Так как значение image124.gif(230 bytes) в этой точке неизвестно, для его нахождения используют метод Эйлера с шагом image125.gif(213 bytes).

 

В начало страницы

ПРИМЕР 3. Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера.

Еще одна модификация метода Эйлера второго порядка - метод Эйлера-Коши:

image126.gif(829 bytes)

 

Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера.

Пусть требуется решить нормальную систему дифференциальных уравнений:

image127.gif(801 bytes)

с начальными условиями: image128.gif(310 bytes), image129.gif(318 bytes) , ..., image130.gif(319 bytes)

Эту систему в векторной форме можно записать в виде: image131.gif(313 bytes), image132.gif(309 bytes) . Здесь image133.gif(627 bytes), image134.gif(805 bytes), image135.gif(510 bytes) . Расчетная формула метода Эйлера имеет вид: image136.gif(410 bytes), image137.gif(268 bytes).

В начало страницы

Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы
Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2019. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

 

            Rambler's Top100