Предельные теоремы для биномиального распределения.

Вычислить вероятность того, что случайная величина, имеющая биномиальное распределение с параметрами [Graphics:Images/index_gr_1.gif], принимает значение, равное [Graphics:Images/index_gr_2.gif]. Выполнить вычисления для [Graphics:Images/index_gr_3.gif] и [Graphics:Images/index_gr_4.gif] . Сравнить результаты по формуле Бернулли и по приближенной формуле Муавра-Лапласа.

Загрузим пакет [Graphics:Images/index_gr_5.gif]

[Graphics:Images/index_gr_6.gif]

Рассмотрим случай [Graphics:Images/index_gr_7.gif]

Определим константы

[Graphics:Images/index_gr_8.gif]

Определим биномиальное распределение

[Graphics:Images/index_gr_9.gif]

[Graphics:Images/index_gr_10.gif]

[Graphics:Images/index_gr_11.gif]

[Graphics:Images/index_gr_12.gif]

Вычислим вероятность того, что случайная величина принимает значение [Graphics:Images/index_gr_13.gif] при [Graphics:Images/index_gr_14.gif] и [Graphics:Images/index_gr_15.gif] соответственно

[Graphics:Images/index_gr_16.gif]

[Graphics:Images/index_gr_17.gif]

[Graphics:Images/index_gr_18.gif]

[Graphics:Images/index_gr_19.gif]

Теперь вычислим эту вероятность приближенно, по формуле Муавра-Лапласа

[Graphics:Images/index_gr_20.gif]

[Graphics:Images/index_gr_21.gif]

[Graphics:Images/index_gr_22.gif]

[Graphics:Images/index_gr_23.gif]

[Graphics:Images/index_gr_24.gif]

[Graphics:Images/index_gr_25.gif]

[Graphics:Images/index_gr_26.gif]

[Graphics:Images/index_gr_27.gif]

[Graphics:Images/index_gr_28.gif]

[Graphics:Images/index_gr_29.gif]

[Graphics:Images/index_gr_30.gif]

Рассмотрим случай [Graphics:Images/index_gr_31.gif]

Определим константы

[Graphics:Images/index_gr_32.gif]

Определим биномиальное распределение

[Graphics:Images/index_gr_33.gif]

[Graphics:Images/index_gr_34.gif]

[Graphics:Images/index_gr_35.gif]

[Graphics:Images/index_gr_36.gif]

Вычислим вероятность того, что случайная величина принимает значение [Graphics:Images/index_gr_37.gif] при [Graphics:Images/index_gr_38.gif] и [Graphics:Images/index_gr_39.gif] соответственно

[Graphics:Images/index_gr_40.gif]

[Graphics:Images/index_gr_41.gif]

[Graphics:Images/index_gr_42.gif]

[Graphics:Images/index_gr_43.gif]

Теперь вычислим эту вероятность приближенно, по формуле Муавра-Лапласа

[Graphics:Images/index_gr_44.gif]

[Graphics:Images/index_gr_45.gif]

[Graphics:Images/index_gr_46.gif]

[Graphics:Images/index_gr_47.gif]

[Graphics:Images/index_gr_48.gif]

[Graphics:Images/index_gr_49.gif]

[Graphics:Images/index_gr_50.gif]

[Graphics:Images/index_gr_51.gif]

[Graphics:Images/index_gr_52.gif]

[Graphics:Images/index_gr_53.gif]

[Graphics:Images/index_gr_54.gif]