Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы
https://hub.exponenta.ru/


Курс теории вероятностей.
Готовые занятия

 

Список курсов ВМ

 

 
Занятие 10
Теоретический материал Теоретическая справка Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы

Математическое ожидание ~ Дисперсия ~ Условное математическое ожидание

 

Математическое ожидание

Пусть — двумерная случайная величина, тогда , т.е. математическое ожидание случайного вектора — это вектор из математических ожиданий компонент вектора.

Если — дискретный случайный вектор с распределением

  ...
...
...
... ... ... ... ...
...

то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:

, .

Эти формулы можно записать в сокращенном виде. Обозначим

и ,

тогда

и .

Эти формулы естественно обобщаются на непрерывный случай.

Если — совместная плотность распределения двумерной случайной величины , то

и .

Поскольку

и — не что иное как плотность распределения случайной величины, то и, аналогично, .

 

Пример 1. Вычислим математическое ожидание дискретного двумерного случайного вектора с распределением

  0 1 2
2 0.1 0.1 0.2
7 0.2 0.2 0.2

 

Дисперсия

Понятие дисперсии нетривиальным образом обобщается на многомерные случайные величины. Это обобщение будет сделано в следующем разделе. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора.

Если — двумерная случайная величина, то

 

, .

Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.

 

Пример 2. Вычислим дисперсию двумерного случайного вектора, определенного в примере 1.

 

Условное математическое ожидание

Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если — случайная величина и , то — тоже случайная величина, связанная с функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров ясно видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание, вычисленной по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.

Для двумерного дискретного случайного вектора с распределением

  ...
...
...
... ... ... ... ...
...

условное математическое ожидание случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение , вычисляется по формуле

.

Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение , равно

.

Пример 3. Вычислим математические ожидания и условные математические ожидания компонент случайного вектора , заданного распределением,

 

1

2

3

1

0.1

0.1

0.2

2

0.2

0.2

0.2

Видно, что условное математическое ожидание случайной величины является функцией значений случайной величины , т.е.

 

и, совершенно аналогично,

 

.

Функцию называют регрессией случайной величины на случайную величину , а регрессией случайной величины на случайную величину.

Формулы условных математических ожиданий для дискретных случайных величин естественным образом обобщаются на непрерывные случайные величины.

Если совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины , то

и .

Рассмотрим непрерывный случайный вектор с плотностью распределения

Нетрудно проверить, что .

Найдем распределения компонент случайного вектора и их математические ожидания и условные математические ожидания:

,

,

, ,

, , .

В этом случае регрессия на равна нулю, а регрессия на описывается уравнением

.

 

В начало страницы

Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы
Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2019. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

 

            Rambler's Top100