Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах.

Найти решение задачи Коши [Graphics:1.gif], [Graphics:2.gif].

Обозначим левую часть уравнения [Graphics:3.gif].

[Graphics:4.gif]

Обозначим коэффициент при [Graphics:5.gif] функцией [Graphics:6.gif], а коэффициент при [Graphics:7.gif] – функцией [Graphics:8.gif].

[Graphics:9.gif]

[Graphics:10.gif]

[Graphics:11.gif]

[Graphics:12.gif]

Убедимся теперь, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого достаточно показать, что [Graphics:13.gif].

[Graphics:14.gif]

[Graphics:15.gif]

Общий интеграл уравнения ищем в виде

[Graphics:16.gif]

[Graphics:17.gif]

где [Graphics:18.gif]находится из уравнения [Graphics:19.gif].

[Graphics:20.gif]

[Graphics:21.gif]

Подставим найденную функцию [Graphics:22.gif] и получим общий интеграл уравнения

[Graphics:23.gif]

[Graphics:24.gif]

Константу найдем из начального условия

[Graphics:25.gif]

[Graphics:26.gif]

То есть, решение имеет вид

[Graphics:27.gif]

[Graphics:28.gif]

Проверим правильность решения. Покажем, что [Graphics:29.gif] и [Graphics:30.gif].

[Graphics:31.gif]

[Graphics:32.gif]

Решим это дифференциальное уравнение с помощью встроенной функции DSolve

[Graphics:33.gif]

[Graphics:34.gif]

[Graphics:35.gif]

Функция выдала сообщение, что она не может разрешить получившееся уравнение относительно [Graphics:36.gif]. Это уравнение полностью совпадает с общим интегралом, который мы нашли выше, если его упростить и найти константу из начального условия.

[Graphics:37.gif]

[Graphics:38.gif]

[Graphics:39.gif]

[Graphics:40.gif]