Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера.

Найдем методом Эйлера приближенное решение задачи Коши [Graphics:1.gif], [Graphics:2.gif] в точке [Graphics:3.gif].

Изобразим приближенное решение графически, построим график точного решения и построим касательную к графику решения в точке [Graphics:4.gif].

Введем формулы Эйлера при [Graphics:5.gif].

[Graphics:6.gif]

То есть, приближенное решение в точке [Graphics:7.gif] равно

[Graphics:8.gif]

[Graphics:9.gif]

Найдем точное решение задачи

[Graphics:10.gif]

[Graphics:11.gif]

Запишем уравнение касательной к графику решения в точке [Graphics:12.gif]

[Graphics:13.gif]

Построим график точного решения, касательную к графику в точке [Graphics:14.gif], а также изобразим приближенное решение в точке [Graphics:15.gif] [Graphics:16.gif]

[Graphics:17.gif]

[Graphics:18.gif]

[Graphics:19.gif]

Видно, что приближенное значение, вычисленное по формуле Эйлера на одном шаге, лежит на касательной к графику решения. Видно также, что погрешность приближенного решения растет с увеличением шага.

[Graphics:20.gif]