Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


Курс ОДУ.
Готовые занятия
 
Занятие 16
Теоретический материал Теоретическая справка Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы

Функция-оригинал ~ Преобразование Лапласа ~ Основные свойства преобразования Лапласа ~ Алгоритм решения Задачи Коши для уравнений. Алгоритм решения Задачи Коши для систем

 

Операционное исчисление — один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При решении операционным методом задача интегрирования линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к задаче о решении алгебраического уравнения.

Функцией-оригиналом называется функция  f(x) для которой справедливо:
f(x) непрерывна при неотрицательных x, за исключением, быть может конечного числа точек,
f(x)=0 при x<0,
существуют такие постоянные M и a, что
Image113.gif (1041 bytes)
при всех неотрицательных x.

Преобразованием Лапласа функции f(x) называется функция
Image114.gif (1202 bytes)

Функция F(p) называется изображением функции f(x), а функция f(x) - оригиналом для F(p).

 

ПРИМЕР 1. Отыскание изображения и оригинала.

 

Основные свойства преобразования Лаплалса, используемые при решении дифференциальных уравнений следующие:

  • оригинал восстанавливется по изображению единственным образом, с точностью до значений в точках разрыва - теорема единственности;
  • если F(p) и G(p) - изображения соответственно для f(x) и g(x), то изображением для
    af(x)+bg(x)
    является aF(p) +bG(p) - линейность преобразования Лапласа;
  • изображением для производной f (n)(x) является функция
    pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f'(0)- …- pf (n-2)(0)-f (n-1)(0) - изображение производных;
  • если F(p) изображения для f(x), то для любого a>0 изображением для f(x-a) является Image115.gif (973 bytes)- теорема запаздывания.

Рассмотри задачу Коши:
Image116.gif (1537 bytes)
a1, a2, …, an - постоянные.

Алгоритм решения задачи Коши для уравнений операционным методом состоит в следующем. Обозначим Y(p) и F(p) изображения для y(x) и f(x).
Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим: Image117.gif (1682 bytes)
или, A(p)Y(p)+B(p) = F(p), где A(p) и B(p) - многочлены.
Отсюда:
Image118.gif (1205 bytes)
и искомое решение задачи Коши y(x) является оригиналом для Y(p).

 

ПРИМЕР 2. Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

 

Совершенно аналогично операционное исчисление применяется к решению задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим задачу Коши:
Image119.gif (1234 bytes)
A- постоянна матрица размерности n·n.

Алгоритм решения задачи Коши для систем операционным методом состоит в следующем.
Обозначим Image120.gif (1001 bytes)изображения для Image121.gif (988 bytes)- компонентами вектор-функций Image120.gif (1001 bytes)являются изображения соответствующих компонент вектор-функций Image121.gif (988 bytes). Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим:
Image122.gif (1172 bytes)
Image123.gif (1230 bytes),
где E - единичная матрица, Image124.gif (987 bytes)- обратная матрица к матрице Image125.gif (964 bytes).

Тогда искомое решение задачи Коши Image126.gif (913 bytes) является оригиналом для Image127.gif (919 bytes).

 

ПРИМЕР 3. Решение задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

В начало страницы

 

Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы
Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2017. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100