Метод вариации произвольных постоянных решения задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения [Graphics:1.gif].

Обозначим левую часть уравнения [Graphics:2.gif]

[Graphics:3.gif]

Найдем решение соответствующего однородного уравнения.

Запишем характеристический многочлен однородного уравнения

[Graphics:4.gif]

[Graphics:5.gif]

[Graphics:6.gif]

Найдем корни характеристического многочлена

[Graphics:7.gif]

[Graphics:8.gif]

Фундаментальная система записывается в виде

[Graphics:9.gif]

А общее решение уравнения записывается так

[Graphics:10.gif]

[Graphics:11.gif]

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Решение будем искать в виде

[Graphics:12.gif]

Решим систему уравнений относительно производных неизвестных функций

[Graphics:13.gif]

[Graphics:14.gif]

Проинтегрируем полученные результаты

[Graphics:15.gif]

[Graphics:16.gif]

[Graphics:17.gif]

[Graphics:18.gif]

[Graphics:19.gif]

[Graphics:20.gif]

[Graphics:21.gif]

[Graphics:22.gif]

Тогда общее решение неоднородного линейного уравнения

[Graphics:23.gif]

[Graphics:24.gif]

Проверим, что решение найдено верно. Подставим в уравнение и упростим.

[Graphics:25.gif]

[Graphics:26.gif]

Можно было сразу решить это уравнение с помощью встроенной функции [Graphics:27.gif]

[Graphics:28.gif]

[Graphics:29.gif]

[Graphics:30.gif]