Метод вариации произвольных постоянных решения задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения , , , .

Обозначим левую часть уравнения

Найдем решение соответствующего однородного уравнения.

Запишем характеристический многочлен однородного уравнения

Найдем корни характеристического многочлена

Фундаментальная система записывается в виде

А общее решение уравнения записывается так

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Решение будем искать в виде

Решим систему уравнений относительно производных неизвестных функций

Проинтегрируем полученные результаты

Тогда общее решение неоднородного линейного уравнения

Найдем константы из начальных условий.

Таким образом, решением исходного уравнения будет функция

Проверим, что решение найдено верно. Подставим в уравнение и упростим.

Можно было сразу решить это уравнение с помощью встроенной функции