Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения , , , .

Обозначим левую часть уравнения

Найдем решение соответствующего однородного уравнения.

Запишем характеристический многочлен однородного уравнения

Найдем корни характеристического многочлена

Фундаментальная система записывается в виде

А общее решение уравнения записывается так

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Так как среди корней характеристического многочлена есть комплексно сопряженные корни и , решение будем искать в виде многочленов первой степени, умноженных на и и на множитель .

Подставим этот многочлен в левую часть уравнения, соберем множители при и .

Приравняем коэффициенты при однинаковых степенях , стоящих при и , левой и правой частей уравнения.

Разрешим полученные уравнения относительно переменных

Следовательно частным решением является функция

Тогда общее решение неоднородного линейного уравнения

Найдем константы из начальных условий.

Таким образом, решением исходного уравнения будет функция

Проверим, что решение найдено верно. Подставим в уравнение и упростим.

Можно было сразу решить это уравнение с помощью встроенной функции