Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Найти решение неоднородного линейного дифференциального уравнения [Graphics:1.gif].

Обозначим левую часть уравнения [Graphics:2.gif]

[Graphics:3.gif]

Найдем решение соответствующего однородного уравнения.

Запишем характеристический многочлен однородного уравнения

[Graphics:4.gif]

[Graphics:5.gif]

[Graphics:6.gif]

Найдем корни характеристического многочлена

[Graphics:7.gif]

[Graphics:8.gif]

Фундаментальная система записывается в виде

[Graphics:9.gif]

А общее решение уравнения записывается так

[Graphics:10.gif]

[Graphics:11.gif]

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Так среди корней характеристического многочлена нет нуля, решение будем искать в виде многочлена второй степени.

[Graphics:12.gif]

Подставим этот многочлен в левую часть уравнения, и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях [Graphics:13.gif] левой и правой частей уравнения.

[Graphics:14.gif]

[Graphics:15.gif]

Разрешим полученные уравнения относительно переменных [Graphics:16.gif]

[Graphics:17.gif]

[Graphics:18.gif]

Следовательно частным решением является функция

[Graphics:19.gif]

[Graphics:20.gif]

Тогда общее решение неоднородного линейного уравнения

[Graphics:21.gif]

[Graphics:22.gif]

[Graphics:23.gif]

Проверим, что решение найдено верно. Подставим в уравнение и упростим.

[Graphics:24.gif]

[Graphics:25.gif]

Можно было сразу решить это уравнение с помощью встроенной функции [Graphics:26.gif]

[Graphics:27.gif]

[Graphics:28.gif]

[Graphics:29.gif]