Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Найти решение неоднородного линейного дифференциального уравнения .

Обозначим левую часть уравнения

Найдем решение соответствующего однородного уравнения.

Запишем характеристический многочлен однородного уравнения

Найдем корни характеристического многочлена

Фундаментальная система записывается в виде

А общее решение уравнения записывается так

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Так среди корней характеристического многочлена нет нуля, решение будем искать в виде многочлена второй степени.

Подставим этот многочлен в левую часть уравнения, и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей уравнения.

Разрешим полученные уравнения относительно переменных

Следовательно частным решением является функция

Тогда общее решение неоднородного линейного уравнения

Проверим, что решение найдено верно. Подставим в уравнение и упростим.

Можно было сразу решить это уравнение с помощью встроенной функции