Производные сложных, обратных функций

Вычислить производные сложных функций [Graphics:1.gif] и [Graphics:2.gif]

1. Рассмотрим функцию [Graphics:3.gif]

Введем функцию [Graphics:4.gif]

[Graphics:5.gif]

Здесь внешней функцией является [Graphics:6.gif], а внутренней – [Graphics:7.gif]. Произведение их производных и дает производную сложной функции.

[Graphics:8.gif]

[Graphics:9.gif]

[Graphics:10.gif]

[Graphics:11.gif]

[Graphics:12.gif]

[Graphics:13.gif]

[Graphics:14.gif]

2. Рассмотрим функцию [Graphics:15.gif]

Введем функцию [Graphics:16.gif]

[Graphics:17.gif]

Выпишем цепочку простых функций, с помощью которых определена функция [Graphics:18.gif], начиная с внешней, и посчитаем производные каждой из них.

[Graphics:19.gif]

[Graphics:20.gif]

[Graphics:21.gif]

[Graphics:22.gif]

[Graphics:23.gif]

[Graphics:24.gif]

[Graphics:25.gif]

[Graphics:26.gif]

Произведение этих производных и будет производной сложной функции

[Graphics:27.gif]

[Graphics:28.gif]

Вычислим производную функции [Graphics:29.gif] непосредственно

[Graphics:30.gif]

[Graphics:31.gif]

[Graphics:32.gif]

3. Рассмотрим функцию [Graphics:33.gif]

Введем функцию [Graphics:34.gif]

[Graphics:35.gif]

Выпишем цепочку простых функций, с помощью которых определена функция [Graphics:36.gif], начиная с внешней, и посчитаем производные каждой из них.

[Graphics:37.gif]

[Graphics:38.gif]

[Graphics:39.gif]

[Graphics:40.gif]

Произведение этих производных и будет производной сложной функции

[Graphics:41.gif]

[Graphics:42.gif]

Вычислим производную функции [Graphics:43.gif] непосредственно

[Graphics:44.gif]

[Graphics:45.gif]

[Graphics:46.gif]