Методы вычисления пределов функций

Вычислить [Graphics:1.gif] и [Graphics:2.gif]

1. Рассмотрим [Graphics:3.gif]

Введем функции [Graphics:4.gif] и [Graphics:5.gif]

[Graphics:6.gif]

Имеем здесь неопределенность вида [Graphics:7.gif]. Проверим, что выполнены все условия теоремы Лопиталя о раскрытии неопределенностей. Для этого надо проверить, что существуют конечные производные [Graphics:8.gif] и [Graphics:9.gif], причем [Graphics:10.gif].

Производная числителя в точке π

[Graphics:11.gif]

[Graphics:12.gif]

Производная знаменателя в точке π

[Graphics:13.gif]

[Graphics:14.gif]

Условия теоремы выполнены, поэтому

[Graphics:15.gif]

Вычислим этот предел встроенной функцией Limit

[Graphics:16.gif]

[Graphics:17.gif]

  [Graphics:18.gif]

2. Рассмотрим [Graphics:19.gif]

Введем функции [Graphics:20.gif] и [Graphics:21.gif]

[Graphics:22.gif]

Здесь снова неопределенность вида [Graphics:23.gif]. Вычислим производные числителя и знаменателя.

[Graphics:24.gif]

[Graphics:25.gif]

[Graphics:26.gif]

[Graphics:27.gif]

Существуют конечные производные [Graphics:28.gif] и [Graphics:29.gif], но в точке [Graphics:30.gif] они обращаются в нуль. Вычислим вторые производные числителя и знаменателя.

[Graphics:31.gif]

[Graphics:32.gif]

[Graphics:33.gif]

[Graphics:34.gif]

Существуют конечные производные [Graphics:35.gif] и [Graphics:36.gif] и [Graphics:37.gif]. Следовательно выполнены условия теоремы Лопиталя и

[Graphics:38.gif]

Вычислим этот предел встроенной функцией Limit

[Graphics:39.gif]

[Graphics:40.gif]

[Graphics:41.gif]