Пример 2

Сферические и цилиндрические координаты

Вычислим тройной интеграл Int(Int(Int(1/((x^2+y^2+(z-2)^2)^(1/2)),x = V .. ``),y = `` .. ``),z = `` .. ``) , где V - шар x^2+y^2+z^2 <= 1 .

> restart;

> with(LinearAlgebra):

> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

Область интегрирования.

> S:={x^2+y^2+z^2<=1};

$S := {x^2+y^2+z^2 <= 1}$

Перейдем к сферическим координатам.

> x:=r*cos(phi)*sin(theta);y:=r*sin(phi)*sin(theta);z:=r*cos(theta);

Уравнение области в сферических координатах.

> simplify(S);

${r^2 <= 1}$

Интегрируемая функция в сферических координатах.

> f:=simplify(1/sqrt(x^2+y^2+(z-2)^2),symbolic);

f := 1/((r^2-4*r*cos(theta)+4)^(1/2))

При интегрировании в сферических координатах умножим функцию на соответствующий якобиан.

> Int(Int(Int(f*r^2*sin(theta),theta=0..Pi),phi=0..2*Pi),r=0..1)=int(int(int(f*r^2*sin(theta),theta=0..Pi),phi=0..2*Pi),r=0..1);

Int(Int(Int(1/(r^2-4*r*cos(theta)+4)^(1/2)*r^2*sin(theta),theta = 0 .. Pi),phi = 0 .. 2*Pi),r = 0 .. 1) = 2/3*Pi