Замена переменных в кратных интегралах

Вычислим двойной интеграл от функции f(x,y) = x/y^5  по области 1 <= 1/16*x^2+y^2 , 1/16*x^2+y^2 <= 3 , 0 <= x , 1/4*x <= y .

>    restart;

>    with(plots): 

Warning, the name changecoords has been redefined

>    f:=(x,y)->x/y^5;

f := proc (x, y) options operator, arrow; x/y^5 end proc

>    S:={x^2/16+y^2-1>=0,x^2/16+y^2-3<=0,x>=0,y-x/4>=0};

S := {0 <= 1/16*x^2+y^2-1, 1/16*x^2+y^2-3 <= 0, 0 <= x, 0 <= y-1/4*x}

Нарисуем заданную область.

>    implicitplot(S,x=0..7,y=0..2);

[Maple Plot]

Перейдем к обощенным полярным координатам.

>    x:=4*r*cos(t);y:=r*sin(t);

x := 4*r*cos(t)

y := r*sin(t)

>    simplify(S);

{0 <= 4*r*cos(t), 0 <= r^2-1, r^2-3 <= 0, 0 <= -r*(-sin(t)+cos(t))}

>    f(x,y);

4/r^4*cos(t)/sin(t)^5

>    S:=Int(Int(f(x,y)*4*r,r=1..sqrt(3)),t=Pi/4..Pi/2);

S := Int(Int(16/r^3*cos(t)/sin(t)^5,r = 1 .. 3^(1/2)),t = 1/4*Pi .. 1/2*Pi)

>    S:=value(%);

S := 4