Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы
Технологии разработки и отладки
сложных технических систем


Курс МА.
Готовые занятия

 

Список курсов ВМ

 

 
Занятие 24
Теоретическая справка Теоретическая справка Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы

Степенные ряды ~ Разложение функций в ряд Тейлора

 

Степенные ряды. Функциональный ряд     image71.gif (1186 bytes), где image72.gif (940 bytes)- числовая последовательность, называется степенным рядом. Степенной ряд сходится на интервале   image73.gif (1116 bytes)с центром в точке  image74.gif (886 bytes) . Число image75.gif (874 bytes) - радиус сходимости степенного ряда может быть вычислено по формулам image76.gif (1269 bytes), или     image77.gif (1239 bytes). Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости. Сходимость степенного ряда на границах интервала сходимости необходимо исследовать специально для конкретного ряда.

 

ПРИМЕР 1.  Нахождение области сходимости функционального ряда.

 

Разложение функций в ряд Тейлора. При исследовании свойств бесконечно дифференцируемых функций изучают их степенные ряды ряды Тейлора. Пусть функция  image78.gif (951 bytes) определена в некоторой окрестности точки  image79.gif (886 bytes) и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд

image80.gif (1395 bytes)называется рядом Тейлора для функции   image78.gif (951 bytes) в точке image79.gif (886 bytes). Приimage82.gif (943 bytes) такой ряд называют также рядом Маклорена:   image83.gif (1255 bytes) . Функция  image84.gif (951 bytes)может быть разложена в степенной ряд на интервале image85.gif (1116 bytes), если существует степенной ряд, сходящийся к  image84.gif (951 bytes)на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки image86.gif (886 bytes), то это ряд Тейлора. Пусть функция  image78.gif (951 bytes) бесконечно дифференцируема на интервале image73.gif (1116 bytes)и все ее производные ограничены в совокупности на этом интервале, то есть существует число  image87.gif (953 bytes) , такое, что для всех    image88.gif (1171 bytes)и для всех  image89.gif (977 bytes) справедливо неравенство image90.gif (1179 bytes). Тогда ряд Тейлора сходится к  image91.gif (951 bytes) для всех  image92.gif (1174 bytes) . Приведем разложения в ряд Тейлора для основных элементарных функций.

image93.gif (1642 bytes)

image94.gif (1874 bytes)

image95.gif (1780 bytes)

image96.gif (1708 bytes)

971.gif (1932 bytes)

972.gif (1045 bytes)

 

ПРИМЕР 2.  Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

ПРИМЕР 3.  Разложение в ряд Тейлора с использованием стандартных разложений.

В начало страницы

Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы
Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2019. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

 

            Rambler's Top100