Методы вычислений пределов последовательностей

Вычислить пределы последовательностей [Graphics:1.gif], [Graphics:2.gif] и [Graphics:3.gif] при [Graphics:4.gif]

1. Рассмотрим последовательность [Graphics:5.gif]

[Graphics:6.gif]

Так как пределы и числителя и знаменателя не существуют, нельзя применять теорему о пределе частного. Вынесем за скобки в числителе и знаменателе n в самой старшей степени:

[Graphics:7.gif]

Теперь можно произвести сокращения и легко получить ответ.

Вычислим этот предел с помощью программы Mathematica

[Graphics:8.gif]

[Graphics:9.gif]

 [Graphics:10.gif]

2. Рассмотрим последовательность [Graphics:11.gif]

[Graphics:12.gif]

Упростим это выражение с помощью функции FullSimplify

[Graphics:13.gif]

[Graphics:14.gif]

Отсюда видно, что при [Graphics:15.gif] это выражение стремиться к [Graphics:15.gif].

Вычислим этот предел с помощью программы Mathematica

[Graphics:17.gif]

[Graphics:18.gif]

[Graphics:19.gif]

3. Рассмотрим последовательность [Graphics:20.gif]

[Graphics:21.gif]

Здесь мы имеем неопределенность типа бесконечность минус бесконечность. Преобразуем выражение, умножив и разделив на сумму таких же корней и упростим числитель с помощью функции Expand:

[Graphics:22.gif]

[Graphics:23.gif]

Здесь знаменатель стремится к бесконечности, поэтому очевидно предел равен нулю.

Вычислим этот предел с помощью программы Mathematica

[Graphics:24.gif]

[Graphics:25.gif]

[Graphics:26.gif]