Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы
Технологии разработки и отладки
сложных технических систем


Курс МА.
Готовые занятия

 

Список курсов ВМ

 

 
Занятие 18
Теоретический материал Теоретическая справка Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы

Вычисление площадей и длин дуг кривых в декартовых координатах ~ Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых ~ Вычисление площадей и длин дуг кривых в полярных координатах

 

Вычисление площадей и длин дуг кривых в декартовых координатах.

Пусть на плоскости Image1106.gif (940 bytes)задана область, ограниченная снизу кривой  Image1107.gif (1026 bytes), заданной в декартовых координатах, сверху – кривой  Image1108.gif (1028 bytes), слева – прямой  Image1109.gif (910 bytes) (ее может и не быть, если  Image1110.gif (1111 bytes)), справа – прямой  Image1111.gif (923 bytes). Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь этой области можно вычислить по формуле  Image1112.gif (1421 bytes) . Здесь не нужно заботиться, какая из функций и где положительная, а какая отрицательная. Если, например, Image1113.gif (1031 bytes), то формула сама прибавит нужную площадь. Более сложные области всегда можно разбить так, чтобы выполнялись указанные условия.

Пусть на отрезке Image1114.gif (972 bytes) уравнением  Image759.gif (1016 bytes)задана плоская кривая. Ее длина вычисляется по формуле   Image1115.gif (1408 bytes)

ПРИМЕР 1.  Вычисление площадей и длин дуг в декартовых координатах.

Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых.

Если область на плоскости снизу ограничена кривой, заданной параметрически, то есть  Image1116.gif (1247 bytes) , при этом  Image1117.gif (1199 bytes), а сверху – кривой   Image1118.gif (1256 bytes). Тогда площадь такой плоской фигуры вычисляем по формуле Image1119.gif (1640 bytes). Эта формула совпадает с формулой вычисления площади в декартовых координатах, если учесть, что  Image778.gif (1081 bytes).

Пусть кривая на плоскости задана параметрически   Image1120.gif (1216 bytes)Image1121.gif (1009 bytes). Тогда длина этой кривой вычисляется по формуле  Image1122.gif (1549 bytes).

ПРИМЕР 2.  Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых.

Вычисление площадей и длин дуг кривых в полярных координатах.

Когда кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах Image1123.gif (1034 bytes), то площадь этой области вычисляем по формуле  Image1124.gif (1296 bytes). Основная трудность в использовании этой формулы заключается в определении пределов интегрирования  Image1125.gif (941 bytes). Здесь нужно понимать, что кривая  Image1123.gif (1034 bytes)определена только, если Image1126.gif (950 bytes). Поскольку в формуле присутствует Image1127.gif (902 bytes), то она учтет и не существующую площадь, когда  Image1128.gif (947 bytes). Решив уравнение Image1129.gif (1033 bytes), найдем пределы интегрирования.

Если кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах  Image1123.gif (1034 bytes), то ее длина вычисляется по формулеImage1130.gif (1556 bytes) . Пределы интегрирования определяются из тех же соображений, что и при вычислении площади.

ПРИМЕР 3.  Вычисление площадей и длин дуг в полярных координатах.

В начало страницы

 

Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы
Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2019. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100