Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


Курс МА.
Готовые занятия

 

Список курсов ВМ

 

 
Занятие 16
Теоретический материал Теоретическая справка Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы

Интегрирование рациональных функций ~ Интегрирование тригонометрических функций ~ Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование рациональных функций - Функция Image693.gif (965 bytes)называется рациональной, если она вычисляется с помощью четырех арифметических действий, то есть в общем случае является частным от деления двух многочленов:Image1053.gif (1154 bytes) . Если Image1054.gif (935 bytes), рациональная дробь называется правильной. Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно вычислить. Для этого:

Если Image1055.gif (944 bytes), выделяем целую часть рациональной дроби с помощью деления многочлена на многочлен. Правильную рациональную дробь (или правильный остаток от деления) раскладываем на простейшие дроби. Вид разложения определяется корнями многочлена   Image1056.gif (1005 bytes), а именно:

Каждому действительному корнюImage665.gif (891 bytes) кратности 1 в разложении соответствует член  Image1057.gif (1006 bytes) .

Каждому действительному корню Image665.gif (891 bytes) кратности Image1058.gif (871 bytes) в разложении соответствует набор из Image1058.gif (871 bytes) членов     Image1059.gif (1719 bytes).

Каждой паре комплексно сопряженных корней  Image1060.gif (974 bytes) кратности 1 в разложении соответствует член   Image1061.gif (1204 bytes) (Image1060.gif (974 bytes) - корни уравнения Image1062.gif (1089 bytes)).

Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности Image1058.gif (871 bytes) в разложении соответствует набор из Image1058.gif (871 bytes) членов      Image1063.gif (2091 bytes) .

В приведенных выражениях Image1064.gif (1072 bytes)- неопределенные коэффициенты, которые можно найти, приводя разложение обратно к общему знаменателю Image1056.gif (1005 bytes), приравнивая полученные коэффициенты при степенях  Image768.gif (859 bytes) к соответствующим коэффициентам Image1065.gif (989 bytes) и решая систему относительно Image1064.gif (1072 bytes) .

Наконец, полученное разложение интегрируем почленно.

ПРИМЕР 1.  Интегрирование рациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций - Интегралы вида Image1066.gif (1249 bytes), где Image1067.gif (1004 bytes) - рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью универсальной замены переменной  Image1068.gif (1159 bytes). При этомImage1069.gif (1596 bytes) . Однако универсальная замена обычно связана с большими вычислениями, поэтому в некоторых случаях можно ее избежать.

Интегралы вида  Image1070.gif (1236 bytes) вычисляются с помощью замены  Image1071.gif (980 bytes). Интегралы вида  Image1072.gif (1239 bytes)вычисляются с помощью замены  Image1073.gif (973 bytes). Интегралы вида  Image1066.gif (1249 bytes), если Image1074.gif (1182 bytes), то есть четная рациональная функция своих аргументов вычисляются с помощью замены    Image1075.gif (962 bytes).

Интегралы вида  Image1077.gif (1242 bytes)вычисляются с помощью формул понижения степени  Image1078.gif (1532 bytes).

ПРИМЕР 2.  Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование иррациональных функций - Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегралы вида Image1079.gif (1516 bytes), где Image1080.gif (1004 bytes) - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой Image1081.gif (1222 bytes).

Интегралы вида  Image1082.gif (1260 bytes) вычисляются заменой Image1083.gif (1009 bytes)илиImage1084.gif (1013 bytes) .

Интегралы вида  Image1085.gif (1261 bytes) вычисляются заменой  Image1086.gif (1045 bytes) илиImage1087.gif (1041 bytes) . Интегралы вида Image1088.gif (1275 bytes)вычисляются заменой Image1089.gif (1001 bytes)илиImage1090.gif (999 bytes) .

ПРИМЕР 3.  Интегрирование иррациональных функций

В начало страницы

 

Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы
Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2017. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100