Интегрирование некоторых классов функций

Вычислить [Graphics:1.gif] и [Graphics:2.gif]

1. Рассмотрим [Graphics:3.gif]

Сделаем замену переменной [Graphics:4.gif]. Для этого разрешим это выражение относительно [Graphics:5.gif].

[Graphics:6.gif]

[Graphics:7.gif]

Подставим в подынтегральное выражение найденное решение

[Graphics:8.gif]

[Graphics:9.gif]

и вычислим производную

[Graphics:10.gif]

[Graphics:11.gif]

Вычислим полученный интеграл

[Graphics:12.gif]

[Graphics:13.gif]

Возвращаясь к старой переменной, получим ответ

[Graphics:14.gif]

[Graphics:15.gif]

Посчитаем этот интеграл в программе Mathematica

[Graphics:16.gif]

[Graphics:17.gif]

Если упростить это выражение и результат, полученный нами, то получатся одинаковые выражения.

[Graphics:18.gif]

[Graphics:19.gif]

[Graphics:20.gif]

[Graphics:21.gif]

[Graphics:22.gif]

2. Рассмотрим[Graphics:23.gif]

Сделаем замену переменной [Graphics:24.gif]. При этом [Graphics:25.gif]

[Graphics:26.gif]

[Graphics:27.gif]

Подставляя в подынтегральное выражение функцию, [Graphics:28.gif] и, производя необходимые упрощения, получим интеграл, который легко вычислить

[Graphics:29.gif]

Возвращаясь к старой переменной, получим ответ

[Graphics:30.gif]

[Graphics:31.gif]

Посчитаем этот интеграл в программе Mathematica

[Graphics:32.gif]

[Graphics:33.gif]