Формула Тейлора

Разложить функцию в окрестности нуля в ряд Тейлора порядка и оценить остаточный член.

Функция Series производит разложение функции в ряд Тейлора.

Запишем многочлен Тейлора порядка и вычислим соответствующий остаточный член.

Функция Normal приводит выражение к "нормальному" виду. В данном случае, ряд Тейлора приводится к многочлену Тейлора.

Вычислим, например, многочлен Тейлора порядка

Нарисуем на графике функцию и ее приближения многочленами Телора порядка и

У функции Plot нестандартный порядок вычисления. Аргументы передаются в функцию без предварительного вычисления. Поэтому функция, которую нужно нарисовать, вычисляется заново каждый раз при каждом значении . Функция Evaluate вычисляет первый аргумент функции . В данном случае это необходимо, так как выражение при каждом конкретном не является действительным числом (при условии, что мы не вычислили предварительно это выражение).

Из графика видно, что уже достаточно хорошо аппроксимирует на промежутке .

Построим графики остаточных членов разного порядка.