Общая теория систем линейных уравнений. Неоднородные системы.

% Исследуем систему Ax=b1 и Ax=b2 методом Гаусса
A = [1 1 0 0 0; 1 1 1 0 0; 0 1 1 1 1; 2 3 2 1 1;3 3 2 0 0];
b1 = [1;4;2;7;10];
b2 = [1;4;2;7;9];

% Приведём матрицы к ступенчатому виду
A1 = rref([A b1])
% Эта система оказывается несовместна

>> A1 = 1 0 0 -1 -1 0
0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0

% Видно, что система Ax=b2 совместна
A2 = rref([A b2])

>> A2 = 1 0 0 -1 -1 2
0 1 0 1 1 -1
0 0 1 0 0 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

% Найдя базис ядра оператора A
null(sym(A))

 

>> ans = [ -1, 0]
[ 1, 0]
[ 0, 0]
[ 0, 1]
[ -1, -1]

% и зная частное решение
sym(A)\sym(b2)
% мы легко получаем общее решение

>> ans = [ 2]
[ -1]
[ 3]
[ 0]
[ 0]