Ориентация пространства. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках А1, А2, А3, А4 и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3, если А1(1,2,0), А2(-1,2,1), А3(-1,-1,-1), А4(0,1,3).

Для решения задачи можно использовать смешанное произведение. По утверждению 3 смешанное произведение векторов A1A2, A1A3, A1A4 есть объем параллелограмма, построенного по этим векторам. Объем искомого тетраэдра в 6 раз меньше. С другой стороны, этот объем равен трети произведения площади треугольника A1A2A3 на искомую высоту.

В Maple встроены функции, позволяющие решить задачу гораздо проще.

>

restart;

Используем пакет geom3d.

>	with(geom3d):

Warning, the name polar has been redefined

Зададим точки  A1, A2, A3, A4.

>	point(A1,1,2,0),point(A2,-1,2,1),point(A3,-1,-1,-1),point(A4,0,1,3):

Построим по заданным точкам тетраэдр.

>	gtetrahedron(T1, [A1, A2, A3, A4]):

Посчитаем объем тетраэдра

>	volume(T1);

Длина высоты, опущенной из точки A4 на противоположную грань, есть расстояние от этой точки до плоскости, на которой лежат три остальные вершины тетраэдра.

>	distance(A4,plane(p,[A1,A2,A3]));