Геометрические векторы

Пусть в декартовой системе координат a={-1,5,2}, b={3,2,-2}. Выяснить, будут ли коллинеарны векторы:
а) с и d, если с=а+b, d=a-b;
b) е и f, если e= 2a+4b, f = -a-2b.

>

restart;

Для решения задачи используем пакет LinearAlgebra.

>	with(plots): with(LinearAlgebra):

Warning, the name changecoords has been redefined

Зададим векторы a и b.

>	a:=Vector[row]([-1,5,2]);

>	b:=Vector[row]([3,2,-2]);

Посчитаем координаты векторов c и d.

>

c:=a+b;

>

d:=a-b;

Для проверки коллинеарности векторов построим матрицу со столбцами из их координат и посчитаем ее ранг. Если ранг равен 1, то вектора коллинеарны, если 2 - нет. Равенство ранга единице означает линейную зависимость векторов, то есть в этом случае существует некоторое число a, что c  = a* d , а значит, вектора коллинеарны.  

>	A:=(Matrix([Transpose(c),Transpose(d)]));

>

Rank(A);

Следовательно, вектора неколлинеарны. Это можно увидеть, нарисовав реализации векторов.

>	cg := arrow(c): dg := arrow(d):

>	display(cg,dg);

Вычислим координаты векторов e и f и проверим их на коллинеарность тем же способом.

>	e:=2*a+4*b;

>	f:=-a-2*b;

>	B:=(Matrix([Transpose(e),Transpose(f)]));

>

Rank(B);

Вектора коллинеарны. На рисунке можно увидеть, что они разнонаправлены.

>	eg := arrow(e): fg := arrow(f):

>	display(eg,fg);

Для проверки коллинеарности 3-мерных векторов и их визуализации в Maple можно использовать пакет geom3d. Пакет работает с закрепленными векторами. Будем использовать реализации заданных векторов, исходящие из начала координат.

>

restart;

>	with(geom3d):

Warning, the name polar has been redefined

Пусть О - общее начало для всех реализаций. Тогда координаты концов векторов будут совпадать с координатами самих векторов.
 c = OA1, d = OA2 .

Точки O, A1, A2.

>	point(O,0,0,0),point(A1,2,7,0):point(A2,-4,3,4):

Задание векторов OA1 и OA2:

>	dsegment(OA1,[O,A1]):dsegment(OA2,[O,A2]):

Проверим вектора на коллинеарность с помощью комманды AreParallel.

>	AreParallel(OA1,OA2);

Реализации векторов, а следовательно и сами вектора c и d неколлинеарны.

Проделаем то же самое для векторов e и f. e = OC1, f = OC2.

>	point(C1,10,18,-4):point(C2,-5,-9,2):

>	dsegment(OC1,[O,C1]):

>	dsegment(OC2,[O,C2]):

>	AreParallel(OC1,OC2);

Вектора коллинеарны.