случайная величина ~ непрерывная случайная величина ~ плотность распределения

Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений окружающего нас мира. Одним из центральных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Случайной величиной называется числовая функция от случайных событий.

Например, случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества ; во втором случае - с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой .

Дискретным называется множество, состоящее из конечного или счетного числа элементов.

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения. В дальнейшем случайные величины будем обозначать греческими буквами.

Если - случайная величина, то функция

называется функцией распределения случайной величины . Здесь - вероятность того, что случайная величина принимает значения, не превосходящие числа .

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

• определена на всей числовой прямой ;
• не убывает, т.е. если , то ;
• , , т.е. и ;
• непрерывна справа, т.е.

.

Функция распределения содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением. Чаще используется термин распределение.

Если функция распределения непрерывна, то случайная величина называется непрерывной случайной величиной.

Если функция распределения дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины , которая связана с функцией распределения формулами

и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .

Вероятность того, что значение случайной величины попадает в интервал вычисляется для непрерывной случайной величины по формулам:

или .

ПРИМЕР 1. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [-1, 1]. Построим график функции распределения и плотности вероятностей этой случайной величины. Вычислим двумя способами вероятность того, что значения случайной величины попадают в промежуток (0, 2).