Дифференцирование функций комплексного переменного.

Исследовать на дифференцируемость функцию [Graphics:Images/index_gr_1.gif].

Введем функцию [Graphics:Images/index_gr_2.gif]

[Graphics:Images/index_gr_3.gif]

Вычислим [Graphics:Images/index_gr_4.gif]

[Graphics:Images/index_gr_5.gif]

[Graphics:Images/index_gr_6.gif]

Вычислим [Graphics:Images/index_gr_7.gif]

[Graphics:Images/index_gr_8.gif]

[Graphics:Images/index_gr_9.gif]

Проверим условия Коши-Римана

[Graphics:Images/index_gr_10.gif]

[Graphics:Images/index_gr_11.gif]

[Graphics:Images/index_gr_12.gif]

[Graphics:Images/index_gr_13.gif]

Видно, что условия Коши-Римана выполнены только в точке [Graphics:Images/index_gr_14.gif]. Так как частные производные [Graphics:Images/index_gr_15.gif] и [Graphics:Images/index_gr_16.gif] непрерывны в этой точке, то функция [Graphics:Images/index_gr_17.gif] дифференцируема только в точке [Graphics:Images/index_gr_18.gif].

[Graphics:Images/index_gr_19.gif]