Производные сложных, обратных функций

Вычислить производные обратных функций [Graphics:1.gif], [Graphics:2.gif] и [Graphics:3.gif]

1. Рассмотрим функцию [Graphics:4.gif], которая является обратной функцией к функции [Graphics:5.gif]

Введем функции [Graphics:6.gif] и [Graphics:7.gif]

[Graphics:8.gif]

По формуле для производной обратной функции вычислим производную [Graphics:9.gif]

[Graphics:10.gif]

[Graphics:11.gif]

Вычислим производную [Graphics:12.gif] непосредственно

[Graphics:13.gif]

[Graphics:14.gif]

[Graphics:15.gif]

2. Рассмотрим функцию [Graphics:16.gif], которая является обратной функцией к функции [Graphics:17.gif]

Введем функции [Graphics:18.gif] и [Graphics:19.gif]

[Graphics:20.gif]

По формуле для производной обратной функции вычислим производную [Graphics:21.gif]

[Graphics:22.gif]

[Graphics:23.gif]

Вычислим производную [Graphics:24.gif] непосредственно

[Graphics:25.gif]

[Graphics:26.gif]

[Graphics:27.gif]

3. Рассмотрим функцию [Graphics:28.gif], которая является обратной функцией к функции [Graphics:29.gif]

Введем функции [Graphics:30.gif] и [Graphics:31.gif]

[Graphics:32.gif]

По формуле для производной обратной функции вычислим производную [Graphics:33.gif]

[Graphics:34.gif]

[Graphics:35.gif]

Вычислим производную [Graphics:36.gif] непосредственно

[Graphics:37.gif]

[Graphics:38.gif]

[Graphics:39.gif]