Непрерывность функции в точке, на отрезке

Геометрический смысл формулы Лагранжа

Рассмотрим функцию

На отрезке эта функция непрерывна и имеет конечную производную, поэтому существует такая точка , что для нее выполняется равенство

Отношение (см. график ниже)

есть угловой коэффициент секущей , а есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке . Таким образом, утверждение теоремы Лагранжа равносильно следующему: на дуге всегда найдется, по крайней мере одна точка , в которой касательная параллельна секущей .

Запишем уравнение секущей , проходящей через точки и

Запишем уравнение касательной, проходящей через точку

Нарисуем график