Поверхностный интеграл по площади поверхности

Вычислим поверхностный интеграл  функции x^2*y^2  по площади полусферы z = (R^2-x^2-y^2)^(1/2) .

>    restart;

Поверхность задана уравнением вида z = f(x,y) , поэтому интеграл вычисляется по формуле S = Int(Int(x^2*y^2*(diff(f(x,y),x)^2+diff(f(x,y),y)^2+1)^(1/2),x = G .. ``),y = `` .. ``) . Здесь G  - проекция поверхности на плоскость x0y , в задаче это круг с центром в начале координат и радиусом R .

>    with(student):

>    S:=Doubleint(x^2*y^2*sqrt(diff(f(x,y),x)^2+diff(f(x,y),y)^2+1),x,y,G);

S := Int(Int(x^2*y^2*(diff(f(x,y),x)^2+diff(f(x,y),y)^2+1)^(1/2),x = G .. ``),y = `` .. ``)

>    f(x,y):=(R^2-x^2-y^2)^(1/2);

f(x,y) := (R^2-x^2-y^2)^(1/2)

>    S;

Int(Int(x^2*y^2*(1/(R^2-x^2-y^2)*x^2+1/(R^2-x^2-y^2)*y^2+1)^(1/2),x = G .. ``),y = `` .. ``)

Перейдем к полярным координатам. Область G будет иметь вид { 0 <= t, t <= 2*Pi, 0 <= r, r <= R }.

>    S:=simplify(changevar({x=r*cos(t),y=r*sin(t)}, S,[t,r] ),trig);

S := Int(Int(-r^4*(-1+cos(t)^2)*(-R^2/(-R^2+r^2))^(1/2)*abs(r)*cos(t)^2,t = G .. ``),r = `` .. ``)

В полярных координатах интеграл сводится к повторному.

>    S:=Int(Int(-r^4*(-1+cos(t)^2)*(-R^2/(-R^2+r^2))^(1/2)*abs(r)*cos(t)^2,r=0..R),t=0..2*Pi);

S := Int(Int(-r^4*(-1+cos(t)^2)*(-R^2/(-R^2+r^2))^(1/2)*abs(r)*cos(t)^2,r = 0 .. R),t = 0 .. 2*Pi)

>    S:=int(int(-r^4*(-1+cos(t)^2)*(-R^2/(-R^2+r^2))^(1/2)*abs(r)*cos(t)^2,r=0..R),t=0..2*Pi) assuming R>0;

S := 2/15*R^6*Pi

Поверхностные интегралы в Maple можно  вычислять с помощью функции SurfaceInt ( f, dom ) пакета VectorCalculus. Здесь f - интегрируемая функция, равная единице в случае вычисления площали поверхности, dom - поверхность.

>    with(VectorCalculus): 

Warning, the assigned names <,> and <|> now have a global binding




Warning, these protected names have been redefined and unprotected: *, +, ., Vector, diff, int, limit, series

>    S:=SurfaceInt( x^2*y^2, [x,y,z] = Surface( <R,s,t>, s=0..Pi/2, t=0..2*Pi, coords=spherical ) ) assuming R>0;

S := 2/15*R^6*Pi