Условный экстремум

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области ,

Введем функцию

Нарисуем график функции

Исследуем функцию внутри рассматриваемой области. Найдем точки, где частные производные обращаются в ноль.

Действительных решений два: и Вычислим значение функции в этих точках.

Исследуем функцию на границе прямоугольника.

Рассмотрим поведение функции при

Эта функция принимает наибольшее и наименьшее значение на концах отрезка

Рассмотрим поведение функции при

Нарисуем график этой функции

Максимальное значение эта функция принимает в точке . Вычислим точку минимума

Точка минимума на отрезке – точка

Вычислим значения функции в точках максимума и минимума.

Рассмотрим поведение функции при

Функция принимает максимальной и минимальное значение на концах отрезка . Эти значения мы уже вычисляли.

Рассмотрим поведение функции при

Максимальное значение эта функция принимает в точке . Вычислим точку минимума

Теперь надо посмотреть все то, что мы насчитали, и выбрать наибольшее и наименьшее значения функции. Наибольшее значение в точке равно . Наименьшее значение принимается в двух точках и и равно .