Несобственные интегралы

Исследовать на сходимость , , и

Сначала установим по определению условия сходимости несобственного интеграла

Пусть , тогда

Это выражение при имеет пределом или конечное число в зависимости от того, будет ли или . Если , то

При в пределе получается

Таким образом, интеграл сходится при и расходится при

Если вычислить этот несобственный интеграл в программе Mathematica, то получим такой же результат, выраженный с помощью функции If.

Функция выдает , если и – иначе.

1. Рассмотрим

Так как при , а интеграл расходится, то данный интеграл тоже расходится.

Если вычислить этот интеграл в программе Mathematica, то программа выдаст сообщение о том, что интеграл не сходится на

2. Рассмотрим

Сравним подынтегральную функцию с .

Функции эквивалентны на бесконечности, поэтому интегралы от этих функций сходятся или расходятся одновременно. Так как интеграл от сходится, то сходится и данный интеграл.

Если вычислить этот интеграл в программе Mathematica, то программа его посчитает в точных числах. Чтобы получить численное приближение результата, нужно применить функцию N

3. Рассмотрим

Сделаем замену переменных , получим интеграл

Так как при функция . Интеграл от сходится (это устанавливается точно так же, как для ), поэтому сходится и данный интеграл.

Можно непосредственно вычислить этот интеграл в программе Mathematica

4. Рассмотрим

Сравним подынтегральную функцию с .

Функции эквивалентны в окрестности нуля, поэтому интегралы от этих функций сходятся или расходятся одновременно. Так как интеграл от расходится, то расходится и данный интеграл.

Если вычислить этот интеграл в программе Mathematica, то программа выдаст сообщение о том, что интеграл не сходится на