Исследовать функцию, заданную интегралом с переменным верхним пределом
Введем функцию
Первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции, поэтому невозможно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница. Однако можно исследовать эту функцию не вычисляя интеграла.
Вычислим значения функции при нескольких значениях .
Вычислим пределы функции, когда стремится к бесконечности
Для исследования на экстремум, выпуклости, вогнутости вычислим первую и вторую производные
Первая производная в ноль не обращается, поэтому точек экстремума у функции нет. Вторая производная положительна при отрицательных значениях и отрицательна – при положительных, следовательно, функция выпукла вниз на отрицательной полуоси и выпукла вверх – на положительной.
Построим график функции
Вычислим функцию в программе Mathematica