Несобственные интегралы

Исследовать функцию, заданную интегралом с переменным верхним пределом

Введем функцию

Первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции, поэтому невозможно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница. Однако можно исследовать эту функцию не вычисляя интеграла.

Вычислим значения функции при нескольких значениях .

Вычислим пределы функции, когда стремится к бесконечности

Для исследования на экстремум, выпуклости, вогнутости вычислим первую и вторую производные

Первая производная в ноль не обращается, поэтому точек экстремума у функции нет. Вторая производная положительна при отрицательных значениях и отрицательна – при положительных, следовательно, функция выпукла вниз на отрицательной полуоси и выпукла вверх – на положительной.

Построим график функции

Вычислим функцию в программе Mathematica