Интегрирование некоторых классов функций

Вычислить , и

1. Рассмотрим

Сделаем универсальную замену переменных в подынтегральном выражении и упростим его

Интеграл от упрощенного выражения равен и, возвращаясь к старой переменной, получаем ответ

Посчитаем этот интеграл в программе Mathematica

Если упростить это выражение, то результат получится такой же, как и у нас.

2. Рассмотрим

Преобразуем подынтегральное выражение к виду

и сделаем замену переменных , , получив интеграл

Возвращаясь к старой переменной, получим ответ

Посчитаем этот интеграл в программе Mathematica

Если упростить это выражение и преобразовать результат, полученный нами, то получатся одинаковые выражения.

3. Рассмотрим

Воспользовавшись формулой понижения степени, преобразуем подынтегральное выражение и получим два интеграла, которые легко вычисляются

Посчитаем этот интеграл в программе Mathematica