Исследование функций и построение графиков.

Найти интервалы вогнутости, выпуклости и точки перегиба функций , и

1. Рассмотрим функцию

Введем функцию

Нарисуем график второй производной функции

Из графика видно, что функция имеет три точки перегиба. Для того, чтобы точно их определить, решим уравнение

Нарисуем теперь графики функции и ее второй производной вместе.

2. Рассмотрим функцию

Введем функцию

Нарисуем график второй производной функции

Из графика видно, что функция имеет одну точку перегиба. Для того, чтобы точно ее определить, решим уравнение

Нарисуем теперь графики функции и ее второй производной вместе.

Интервалы выпуклости и вогнутости очевидны из графика.

3. Рассмотрим функцию

Введем функцию

Нарисуем графики функции и ее второй производной вместе.

Кубический корень функция неоднозначная. Если мы вычисляем , в комплексной плоскости существуют три числа, при возведении которых в куб получится . Программа Mathematica выбирает тот корень, у которого минимальное по модулю значение аргумента. Поэтому, если число , кубический корень будет положительным действительным числом, а если , будет комплексным чилом с аргументом . Функция при при таком выборе кубического корня будет комплексной. Для того, чтобы функция была везде действительной (то есть, чтобы понимался как ), надо домножить функцию при на . Умножение на функцию делает именно это.

Точка перегиба . При перегиба нет, так как вторая производная не меняет знака и остается отрицательной в окрестности этой точки. Интервалы выпуклости и вогнутости очевидны из графика.