Элементарная теория линейных операторов

Описать структуры образа и ядра линейного оператора (то есть, определить их размерности и построить базис), действующего в линейном пространстве [Graphics:1.gif], заданного матрицей [Graphics:2.gif]. Проверить, принадлежат ли векторы [Graphics:3.gif] и [Graphics:4.gif] ядру оператора, а векторы [Graphics:5.gif] и [Graphics:6.gif]- его образу.

[Graphics:7.gif]

Введем матрицу [Graphics:8.gif] и векторы [Graphics:9.gif]

[Graphics:10.gif]

 [Graphics:11.gif]

Вычислим ранг оператора

[Graphics:12.gif]

 [Graphics:13.gif]

Видно, что ранг равен 3. Следовательно, размерность образа равна 3, размерность ядра равна 1.

Базис в образе оператора образуют векторы

[Graphics:14.gif]

 [Graphics:15.gif]

[Graphics:16.gif]

 [Graphics:17.gif]

Найдем базис ядра. Это фундаментальная система решений линейной однородной системы с матрицей [Graphics:18.gif].

[Graphics:19.gif]

 [Graphics:20.gif]

Проверим, принадлежат ли векторы [Graphics:21.gif] ядру оператора

[Graphics:22.gif]

 [Graphics:23.gif]

 [Graphics:24.gif]

 [Graphics:25.gif]

Видно, что вектор [Graphics:26.gif] принадлежит ядру, а вектор [Graphics:27.gif] - нет

Проверим, принадлежат ли векторы [Graphics:28.gif] образу оператора

[Graphics:29.gif]

[Graphics:30.gif]

Базисные столбцы матрицы [Graphics:31.gif] и вектор [Graphics:32.gif] образуют линейно зависимую систему, следовательно вектор [Graphics:33.gif] принадлежит образу оператора.

[Graphics:34.gif]

[Graphics:35.gif]

Базисные столбцы матрицы [Graphics:36.gif] и вектор [Graphics:37.gif] образуют линейно независимую систему, следовательно вектор [Graphics:38.gif] не принадлежит образу оператора.

[Graphics:39.gif]