Описать структуры образа и ядра линейного оператора (то есть, определить их размерности и построить базис), действующего в линейном пространстве , заданного матрицей . Проверить, принадлежат ли векторы и ядру оператора, а векторы и - его образу.
Введем матрицу и векторы
Вычислим ранг оператора
Видно, что ранг равен 3. Следовательно, размерность образа равна 3, размерность ядра равна 1.
Базис в образе оператора образуют векторы
Найдем базис ядра. Это фундаментальная система решений линейной однородной системы с матрицей .
Проверим, принадлежат ли векторы ядру оператора
Видно, что вектор принадлежит ядру, а вектор - нет
Проверим, принадлежат ли векторы образу оператора
Базисные столбцы матрицы и вектор образуют линейно зависимую систему, следовательно вектор принадлежит образу оператора.
Базисные столбцы матрицы и вектор образуют линейно независимую систему, следовательно вектор не принадлежит образу оператора.