Линейное пространство. Основные понятия.

Исследовать на линейную зависимость системы векторов
[Graphics:1.gif], [Graphics:2.gif], [Graphics:3.gif], [Graphics:4.gif]  и
[Graphics:5.gif], [Graphics:6.gif], [Graphics:7.gif], [Graphics:8.gif]
Выделить в линейно зависимой системе линейно независимую подсистему. Найти линейные выражения всех векторов линейно зависимой системы через векторы линейно независимой подсистемы.

Загрузим пакет [Graphics:9.gif]

[Graphics:10.gif]

Введем векторы [Graphics:11.gif] и [Graphics:12.gif]

[Graphics:13.gif]

 [Graphics:14.gif]

Составим матрицы [Graphics:15.gif] и [Graphics:16.gif]

[Graphics:17.gif]

 [Graphics:18.gif]

 [Graphics:19.gif]

 [Graphics:20.gif]

Приведем матрицы к ступенчатому виду.

[Graphics:21.gif]

 [Graphics:22.gif]

 [Graphics:23.gif]

 [Graphics:24.gif]

Видно, что векторы [Graphics:25.gif] линейно зависимы (ранк матрицы [Graphics:26.gif] равен 3), а векторы [Graphics:27.gif] линейно независимы (ранк матрицы [Graphics:28.gif] равен 4), и что первые три столбца матрицы [Graphics:29.gif] линейно независимы, то есть веторы [Graphics:30.gif] образуют линейно независимую подсистему.

Выразим векторы линейно зависимой системы [Graphics:31.gif] через векторы линейно независимой подсистемы [Graphics:32.gif]

[Graphics:33.gif]

 [Graphics:34.gif]

[Graphics:35.gif]