Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало

Занятие 11. Предел функции. Дифференцирование

• Вычисление пределов функций
• Дифференцирование
• Исследование функций

Три нижних кнопки инструментальной панели Calculus

предназначены для вычисления пределов функций.

Попробуем вначале вычислить замечательные пределы.

Как видно, получен вполне удовлетворительный результат.

Можно вычислить также пределы слева и справа.

Так предел функции при x -> -0 равен 0, а при x -> +0 - бесконечности.

Вычисление предела - это операция символьной математики и поэтому завершается символом стрелки вправо
->.

Дифференцирование

По определению, производная функции есть:

Вычислим по определению производную функции при :

В Mathcad для вычисления производной используется палитра Calculus. Так, для решения той же задачи мы могли написать:

Причём символ дифференцирования выбирается только с палитры, вводить его "вручную" нельзя.

Заканчивается операция дифференцирования знаком =, если вы хотите получить численное значение производной в точке, и значком ->, если необходимо получить символьное значение.

Рассмотрим несколько примеров:

Поскольку переменная х определена, можно вычислить и довольно экзотическую производную

Исследование функций

Предел функции и производную можно использовать для исследования функций. Мы не будем рассматривать полную схему исследования, вычислим лишь точки экстремума и найдём наклонные асимптоты.

Рассмотрим функцию

на интервале .

Вычислим производную:

В точке локального максимума

Разрешим это уравнение

Наклонная асимптота определяется уравнением:

Вычислим

и построим на том же графике асимптоту.

Можно ещё вычислить предел производной в точке х=0 слева и справа.

В нуле функция непрерывна, но производная имеет разрыв второго рода.

Рассмотрим ещё одну задачу. Необходимо построить эллипс

касательные и нормали к нему в точках
( ), ( ).

Для простоты запишем уравнение эллипса в параметрической форме:

Положим , для точки , и вычислим угловой коэффициент касательной.

   - свободный член уравнения

Угловой коэффициент нормали вычисляется как   и свободный член

- касательная

-нормаль

Нормаль и касательную в т. ( ) постройте самостоятельно.

Задание для самостоятельной работы

Построить графики функций:

Найти:

1. Нули функций.
2. Точки локальных экстремумов.

В начало
Вернуться на страницу <Методические разработки>