Вернуться на страницу <Методические разработки>

В начало

Расчет разветвленных цепей постоянного тока

1. Рассмотрим схему электрического моста, для которой необходимо найти общее сопротивление R₀.
   

   Запишем уравнения для узлов: (В): (D): Запишем уравнения для контуров: ACFG: ABD: DBC:

Задача сформулирована, имеется система из 5 уравнений с пятью неизвестными. Она имеет единственное решение, т.к. .

Можно исключить переменные i₅, i₄ и прийти к стандартной системе трёх линейных уравнений с тремя неизвестными, но эффективней решать систему матричным способом с помощью пакета математических программ MathCad.

Матричное уравнение:

Составим матрицу из коэффициентов системы линейных уравнений:



Матрица неизвестных токов: I = A^-1·В [2].



а) Если все сопротивления , то эта схема представляет собой уравновешенный мост и .

Общее сопротивление моста в таком случае:



б) Если все сопротивления различны, то общее сопротивление моста , где i₁, i₂ берутся из матрицы I.

Таким образом, задача решена в общем виде.

2. Встречаются задачи, когда требуется определить напряжение по тем или иным причинам, например, в схеме, показанной на рисунке:



Запишем уравнения Кирхгофа:

Узел (В): r - внутреннее сопротивление вольтметра

Узел (С): Е - источник э.д.с.

Контур (ABF):

Контур (СDF):

Контур (ВСF):

Исключим i из уравнения для контура (ABF) и из уравнения для контура (ВСF).

Получим:



Решим полученную систему матричным методом: [2].





Так как (1)

(2)

Выразим Е из (2): и подставим в уравнение (1).



Обозначим через у выражение .

Получим: , или

Решая уравнение, найдём у:



Поскольку отношение значений двух сопротивлений не может быть числом отрицательным, остаётся .

Искомое напряжение найдём по формуле .



Подставим , получим:



Таким образом, измерив напряжение в двух доступных точках, можно определить напряжение в недоступной точке.

3. Рассмотрим схему:
   

   По второму закону Кирхгофа имеем: BEG: (1) DGKF: (2) ABDC: (3) CDFE: (4) Внешний контур: (5)

Используем второй закон Кирхгофа:

ABEI: (2)

BEGH: (3)

ABHC: (4)

СDGH: (5)

IEGD: (6)

Используем первый закон Кирхгофа:

Уравнения (13) и (14) используем для проверки решения.

Всего получается 12 уравнений с 12 неизвестными, но имеющаяся в наличии версия MathCad может работать только с матрицами . Поэтому i₁₁ и i₁₂ исключаем из системы и получаем систему .

В общем случае (в символическом виде) система не решается!

Ответ:

В начало

Далее